Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC. Gọi I là trung điểm của AB. tính cosin của góc giữa 2 vecto SM và BC

Thư nguyễn Hỏi từ APP VIETJACK

· 08:11 17/10/2024

Trả Lời (+5 điểm)

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 403

vu duy anh

1 năm trước

Để tính cosin của góc giữa hai vectơ \(\vec{SM}\) và \(\vec{BC}\), ta làm theo các bước sau:

### 1. **Đặt tọa độ các điểm:**
- Vì \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau, ta có thể chọn hệ tọa độ vuông góc tại điểm \(S\) và biểu diễn các điểm trong hệ tọa độ như sau:
- \(S(0, 0, 0)\)
- \(A(a, 0, 0)\), \(B(0, a, 0)\), \(C(0, 0, a)\) với \(SA = SB = SC = a\)

### 2. **Tìm tọa độ của \(M\):**
- Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), vậy tọa độ của \(I\) là trung bình cộng tọa độ của \(A\) và \(B\):
\[
I\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, 0\right) = I\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)
\]

### 3. **Tìm tọa độ của các vectơ \(\vec{SM}\) và \(\vec{BC}\):**
- Vectơ \(\vec{SM}\) là:
\[
\vec{SM} = \vec{M} - \vec{S} = \left(\frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)
\]

- Vectơ \(\vec{BC}\) là:
\[
\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (0, 0, a) - (0, a, 0) = (0, -a, a)
\]

### 4. **Tính tích vô hướng \(\vec{SM} \cdot \vec{BC}\):**
\[
\vec{SM} \cdot \vec{BC} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \cdot (0, -a, a) = \frac{a}{2} \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot (-a) + 0 \cdot a = -\frac{a^2}{2}
\]

### 5. **Tính độ dài của các vectơ:**
- Độ dài của \(\vec{SM}\):
\[
|\vec{SM}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\]

- Độ dài của \(\vec{BC}\):
\[
|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\]

### 6. **Tính cosin của góc giữa \(\vec{SM}\) và \(\vec{BC}\):**
\[
\cos \theta = \frac{\vec{SM} \cdot \vec{BC}}{|\vec{SM}| |\vec{BC}|} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a^2} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \), góc giữa hai vectơ \(\vec{SM}\) và \(\vec{BC}\) là \(120^\circ\).

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời