Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC. Gọi I là trung điểm của AB. tính cosin của góc giữa 2 vecto SM và BC

Thư nguyễn Hỏi từ APP VIETJACK

· 08:11 17/10/2024

Trả Lời (+5 điểm)

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 605

vu duy anh

1 năm trước

Để tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{SM}$ và $\vec{BC}$, ta làm theo các bước sau:

### 1. **Đặt tọa độ các điểm:**
- Vì $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau, ta có thể chọn hệ tọa độ vuông góc tại điểm $S$ và biểu diễn các điểm trong hệ tọa độ như sau:
- $S(0, 0, 0)$
- $A(a, 0, 0)$, $B(0, a, 0)$, $C(0, 0, a)$ với $SA = SB = SC = a$

### 2. **Tìm tọa độ của $M$:**
- Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, vậy tọa độ của $I$ là trung bình cộng tọa độ của $A$ và $B$:
\[
I\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, 0\right) = I\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)
\]

### 3. **Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{SM}$ và $\vec{BC}$:**
- Vectơ $\vec{SM}$ là:
\[
\vec{SM} = \vec{M} - \vec{S} = \left(\frac{a}{2} - 0, \frac{a}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)
\]

- Vectơ $\vec{BC}$ là:
\[
\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (0, 0, a) - (0, a, 0) = (0, -a, a)
\]

### 4. **Tính tích vô hướng $\vec{SM} \cdot \vec{BC}$:**
\[
\vec{SM} \cdot \vec{BC} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \cdot (0, -a, a) = \frac{a}{2} \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot (-a) + 0 \cdot a = -\frac{a^2}{2}
\]

### 5. **Tính độ dài của các vectơ:**
- Độ dài của $\vec{SM}$:
\[
|\vec{SM}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
\]

- Độ dài của $\vec{BC}$:
\[
|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\]

### 6. **Tính cosin của góc giữa $\vec{SM}$ và $\vec{BC}$:**
\[
\cos \theta = \frac{\vec{SM} \cdot \vec{BC}}{|\vec{SM}| |\vec{BC}|} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a^2} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy $ \cos \theta = -\frac{1}{2} $, góc giữa hai vectơ $\vec{SM}$ và $\vec{BC}$ là $120^\circ$.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời