Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Viết phương trình vận tốc và gia tốc

1. **Phương trình biến đổi**:
\[
x(t) = 2\cos\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)
\]

2. **Phương trình vận tốc**:
Vận tốc \(v(t)\) là đạo hàm của \(x(t)\) theo \(t\):
\[
v(t) = \frac{dx}{dt} = -2\pi \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)
\]

3. **Phương trình gia tốc**:
Gia tốc \(a(t)\) là đạo hàm của \(v(t)\):
\[
a(t) = \frac{dv}{dt} = -2\pi^2 \cos\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)
\]

### b) Xác định vận tốc và gia tốc ở thời điểm \(t = 0,5\) (s)

1. **Tính vận tốc tại \(t = 0,5\)**:
\[
v(0,5) = -2\pi \sin\left(\pi \cdot 0,5 + \frac{\pi}{6}\right) = -2\pi \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)
\]
\[
= -2\pi \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\pi \sqrt{3}
\]

2. **Tính gia tốc tại \(t = 0,5\)**:
\[
a(0,5) = -2\pi^2 \cos\left(\pi \cdot 0,5 + \frac{\pi}{6}\right) = -2\pi^2 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)
\]
\[
= -2\pi^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \pi^2
\]

### c) Tính \(O_{\text{max}}\) và \(V_{\text{max}}\)

1. **Biên độ dao động \(O_{\text{max}}\)**:
\[
O_{\text{max}} = 2 \text{ cm}
\]

2. **Vận tốc cực đại \(V_{\text{max}}\)**:
\[
V_{\text{max}} = 2\pi \text{ (biên độ)} = 2\pi \cdot 1 = 2\pi \approx 2 \cdot 3.16 \approx 6.28 \text{ cm/s}
\]

### Kết luận:
- a) Phương trình vận tốc: \(v(t) = -2\pi \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)\)
- Phương trình gia tốc: \(a(t) = -2\pi^2 \cos\left(\pi t + \frac{\pi}{6}\right)\)
- b) \(v(0,5) = -\pi \sqrt{3} \) cm/s, \(a(0,5) = \pi^2\) cm/s²
- c) \(O_{\text{max}} = 2\) cm, \(V_{\text{max}} \approx 6.28\) cm/s.

Giải bài toán dao động điều hòa
a) Viết phương trình vận tốc và gia tốc
Phương trình vận tốc:

Ta có công thức vận tốc trong dao động điều hòa: v = -ωA.sin(ωt + φ)
Với:A = 2 cm (biên độ)
ω = π rad/s (tần số góc)
φ = π/6 (pha ban đầu)
Vậy phương trình vận tốc là: v = -2π.sin(πt + π/6) (cm/s)
Phương trình gia tốc:

Ta có công thức gia tốc trong dao động điều hòa: a = -ω²A.cos(ωt + φ)
Vậy phương trình gia tốc là: a = -π².2.cos(πt + π/6) = -20.cos(πt + π/6) (cm/s²)
b) Xác định vận tốc và gia tốc ở thời điểm t = 0,5s
Vận tốc:v(0,5) = -2π.sin(π0,5 + π/6) = -2π.sin(2π/3) = -2π√3/2 ≈ -5,44 cm/s
Gia tốc:a(0,5) = -20.cos(π*0,5 + π/6) = -20.cos(2π/3) = 10 cm/s²
c) Tính Omax và Vmax
Gia tốc cực đại (Omax):Omax = ω²A = π²*2 = 20 cm/s²
Vận tốc cực đại (Vmax):Vmax = ωA = π*2 = 2π ≈ 6,28 cm/s
Kết luận:

Phương trình vận tốc: v = -2π.sin(πt + π/6) (cm/s)
Phương trình gia tốc: a = -20.cos(πt + π/6) (cm/s²)
Vận tốc tại t = 0,5s: v ≈ -5,44 cm/s
Gia tốc tại t = 0,5s: a = 10 cm/s²
Gia tốc cực đại: Omax = 20 cm/s²
Vận tốc cực đại: Vmax ≈ 6,28 cm/s
Giải thích:

Vận tốc: Biểu thị tốc độ và hướng chuyển động của vật. Dấu âm cho biết vật đang chuyển động ngược chiều dương.
Gia tốc: Biểu thị sự thay đổi của vận tốc theo thời gian. Dấu âm cho biết gia tốc ngược hướng với chiều dương của trục tọa độ.
Gia tốc cực đại và vận tốc cực đại: Là các giá trị lớn nhất mà gia tốc và vận tốc có thể đạt được trong quá trình dao động.
Nguồn: DapHoi.com