Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích mối liên hệ giữa động năng và thế năng trong dao động điều hòa.

Gọi \( x(t) \) là sự biến thiên của vật trong dao động điều hòa, với \( x(t) = A \cos(\omega t) \) (với \( A \) là biên độ và \( \omega \) là tần số góc của dao động).

### Động năng và thế năng trong dao động điều hòa

- **Động năng** \( K \):
\[ K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (\frac{dx}{dt})^2 \]
Với \( v = -A \omega \sin(\omega t) \), ta có:
\[ K = \frac{1}{2} m (A \omega \sin(\omega t))^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) \]

- **Thế năng** \( U \):
\[ U = \frac{1}{2} k x^2 \]
Với \( k = m \omega^2 \), ta có:
\[ U = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t) \]

### Điều kiện động năng bằng thế năng

Theo đề bài, sau mỗi khoảng thời gian \( t_1 = 0,5 \text{s} \), động năng bằng thế năng, tức:
\[ K = U \]
Từ đó:
\[ \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t) \]
Chia cả hai vế cho \( \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \):
\[ \sin^2(\omega t) = \cos^2(\omega t) \]
Sử dụng công thức \( \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta) \):
\[ \sin^2(\omega t) = \frac{1}{2} \]
Vì vậy:
\[ \cos^2(\omega t) = \frac{1}{2} \]

Điều này có nghĩa là \( \omega t = \frac{\pi}{4} + n\frac{\pi}{2} \), với \( n \) là số nguyên.

### Khoảng thời gian giữa hai lần động năng bằng ba lần thế năng

Khi động năng bằng ba lần thế năng:
\[ K = 3U \]
Ta có:
\[ \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) = 3 \times \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t) \]
Chia cả hai vế cho \( \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \):
\[ \sin^2(\omega t) = 3 \cos^2(\omega t) \]
Từ đó:
\[ \sin^2(\omega t) = 3 (1 - \sin^2(\omega t)) \]
Giải phương trình này:
\[ \sin^2(\omega t) = 3 - 3 \sin^2(\omega t) \]
\[ 4 \sin^2(\omega t) = 3 \]
\[ \sin^2(\omega t) = \frac{3}{4} \]
Vậy:
\[ \cos^2(\omega t) = \frac{1}{4} \]

Điều này có nghĩa là \( \omega t = \arcsin(\pm\sqrt{\frac{3}{4}}) \). Khoảng thời gian giữa hai lần động năng bằng ba lần thế năng là \( T/4 \), với \( T \) là chu kỳ dao động.

### Tính khoảng thời gian ngắn nhất

Nếu động năng bằng thế năng sau mỗi khoảng thời gian \( 0,5 \text{s} \), thì khoảng thời gian giữa hai lần động năng bằng ba lần thế năng sẽ là \( T/4 \). Khi đó:
\[ T/4 = 0,5 \]
Vậy:
\[ T = 2 \text{s} \]

Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần động năng bằng ba lần thế năng là \( T/4 = 0,5 \text{s} \).