Phương trình dao động của vật là \( x = 6 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{6}) \).

Để tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ \( 3 \) cm theo chiều dương đến vị trí có li độ \( -3\sqrt{3} \) cm, ta làm như sau:

1. **Tìm thời điểm mà vật có li độ \( 3 \) cm:**

\[
3 = 6 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{6})
\]

\[
\cos(4\pi t + \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

Giải phương trình này:

\[
4\pi t + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{với } k \text{ là số nguyên}
\]

\[
4\pi t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 4\pi t + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

Giải phương trình thứ nhất:

\[
4\pi t = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]

\[
4\pi t = \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]

\[
t = \frac{1}{24} + \frac{k}{2}
\]

Giải phương trình thứ hai:

\[
4\pi t = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]

\[
4\pi t = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]

\[
t = -\frac{1}{8} + \frac{k}{2}
\]

2. **Tìm thời điểm mà vật có li độ \( -3\sqrt{3} \) cm:**

\[
-3\sqrt{3} = 6 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{6})
\]

\[
\cos(4\pi t + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Giải phương trình này:

\[
4\pi t + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{với } k \text{ là số nguyên}
\]

\[
4\pi t + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 4\pi t + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi
\]

Giải phương trình thứ nhất:

\[
4\pi t = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]

\[
4\pi t = \frac{4\pi}{6} + 2k\pi
\]

\[
4\pi t = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]

\[
t = \frac{1}{6} + \frac{k}{2}
\]

Giải phương trình thứ hai:

\[
4\pi t = -\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]

\[
4\pi t = -\frac{6\pi}{6} + 2k\pi
\]

\[
4\pi t = -\pi + 2k\pi
\]

\[
t = -\frac{1}{4} + \frac{k}{2}
\]

3. **Xác định khoảng thời gian ngắn nhất:**

Chúng ta có các thời điểm:

- \( t_1 = \frac{1}{24} + \frac{k}{2} \)
- \( t_2 = -\frac{1}{8} + \frac{k}{2} \)
- \( t_3 = \frac{1}{6} + \frac{k}{2} \)
- \( t_4 = -\frac{1}{4} + \frac{k}{2} \)

Ta cần tìm sự khác biệt nhỏ nhất giữa các thời điểm này.

Sự khác biệt nhỏ nhất:

\[
\Delta t_1 = t_3 - t_1 = \left( \frac{1}{6} + \frac{k}{2} \right) - \left( \frac{1}{24} + \frac{k}{2} \right) = \frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{4}{24} - \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}
\]

Do đó, khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ \( 3 \) cm theo chiều dương đến vị trí có li độ \( -3\sqrt{3} \) cm là \( \frac{1}{8} \) giây.

Để tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ 3cm đến vị trí có li độ -3√3 cm, ta cần tìm thời điểm tương ứng với các vị trí này trên đồ thị của phương trình dao động x=6cos(4πt+π/6).
Đầu tiên, ta cần tìm thời điểm tương ứng với vị trí có li độ 3cm. Ta giải phương trình sau để tìm thời điểm tương ứng:
6cos(4πt+π/6) = 3
cos(4πt+π/6) = 1/2
Để cos(θ) = 1/2, thì θ có thể là π/3 hoặc 5π/3.
Nên 4πt + π/6 = π/3 hoặc 4πt + π/6 = 5π/3.
=> 4πt = π/3 - π/6 hoặc 4πt = 5π/3 - π/6.
=> t = 1/24 hoặc t = 2/3.
Tương tự, ta tìm thời điểm tương ứng với vị trí có li độ -3√3 cm:
6cos(4πt+π/6) = -3√3
cos(4πt+π/6) = -√3/2
Để cos(θ) = -√3/2, thì θ có thể là 2π/3 hoặc 4π/3.
Nên 4πt + π/6 = 2π/3 hoặc 4πt + π/6 = 4π/3.
=> 4πt = 2π/3 - π/6 hoặc 4πt = 4π/3 - π/6.
=> t = 1/12 hoặc t = 5/12.
Để vật đi từ vị trí có li độ 3cm đến vị trí có li độ -3√3 cm, cần thời gian ngắn nhất là từ thời điểm t = 1/24 đến t = 5/12.
Vậy khoảng thời gian ngắn nhất là 5/12 - 1/24 = 5/12 - 1/24 = 5/24 (hoặc khoảng 0.2083 giây).