Cho phương trình dao động điều hòa:
\[ x = 10 \cos(10\pi t) \text{ (cm)} \]

### Bước 1: Tìm vận tốc của vật

Ta biết rằng vận tốc \(v\) là đạo hàm của li độ \(x\) theo thời gian \(t\):
\[ v = \frac{dx}{dt} \]
Từ phương trình dao động:
\[ x = 10 \cos(10\pi t) \]

Đạo hàm của \(x\) theo \(t\):
\[ v = \frac{dx}{dt} = -10 \cdot 10\pi \sin(10\pi t) \]
\[ v = -100\pi \sin(10\pi t) \]

### Bước 2: Tìm vận tốc cực đại

Vận tốc cực đại \(v_{\text{max}}\) là giá trị lớn nhất của \(v\):
\[ v_{\text{max}} = 100\pi \]

### Bước 3: Tìm thời điểm vận tốc bằng nửa vận tốc cực đại

Yêu cầu bài toán là tìm thời điểm mà độ lớn vận tốc bằng nửa vận tốc cực đại:
\[ |v| = \frac{1}{2} v_{\text{max}} = \frac{1}{2} \cdot 100\pi = 50\pi \]

Ta có:
\[ |v| = 50\pi \]
\[ |-100\pi \sin(10\pi t)| = 50\pi \]
\[ | \sin(10\pi t) | = \frac{1}{2} \]

### Bước 4: Tìm thời điểm \(t\)

Giải phương trình:
\[ \sin(10\pi t) = \frac{1}{2} \]
\[ \sin(10\pi t) = -\frac{1}{2} \]

Các nghiệm của phương trình \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\):
\[ \theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \]
\[ \theta = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]

Các nghiệm của phương trình \(\sin(\theta) = -\frac{1}{2}\):
\[ \theta = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \]
\[ \theta = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \]

Do đó:
\[ 10\pi t = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \]
\[ 10\pi t = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]
\[ 10\pi t = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \]
\[ 10\pi t = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \]

Chia hai vế cho \(10\pi\):
\[ t = \frac{1}{60} + \frac{2k}{10} \]
\[ t = \frac{5}{60} + \frac{2k}{10} \]
\[ t = -\frac{1}{60} + \frac{2k}{10} \]
\[ t = \frac{7}{60} + \frac{2k}{10} \]

Với \(k = 0\):
\[ t = \frac{1}{60} \]
\[ t = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \]
\[ t = -\frac{1}{60} \]
\[ t = \frac{7}{60} \]

Với \(k = 1\):
\[ t = \frac{1}{60} + \frac{2}{10} = \frac{1}{60} + \frac{1}{5} = \frac{1}{60} + \frac{12}{60} = \frac{13}{60} \]
\[ t = \frac{5}{60} + \frac{2}{10} = \frac{5}{60} + \frac{1}{5} = \frac{5}{60} + \frac{12}{60} = \frac{17}{60} \]

Với \(k = -1\):
\[ t = \frac{1}{60} - \frac{2}{10} = \frac{1}{60} - \frac{1}{5} = \frac{1}{60} - \frac{12}{60} = -\frac{11}{60} \]
\[ t = \frac{5}{60} - \frac{2}{10} = \frac{5}{60} - \frac{1}{5} = \frac{5}{60} - \frac{12}{60} = -\frac{7}{60} \]

### Kết luận

Các thời điểm vận tốc của vật có độ lớn bằng nửa vận tốc cực đại lần thứ nhất và lần thứ hai là:
\[ t = \frac{1}{60} \text{ s và } t = \frac{1}{12} \text{ s} \]

Vậy thời điểm vận tốc của vật có độ lớn bằng nửa vận tốc cực đại lần thứ nhất là \(t = \frac{1}{60} \) giây, lần thứ hai là \(t = \frac{1}{12} \) giây.