Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Biết SO vuông góc...

· 22:35 13/03/2023

Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Biết SO vuông góc (ABCD) và SO = a. Gọi H là trung điểm của cạnh AB.

a) Chứng minh AC vuông góc SD.

b) Chứng minh CD vuông góc (SHO).

c) Tính góc giữa hai đường thẳng OH và SD.

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 980

_kw

2 năm trước

a) Ta có:

Gọi M là trung điểm của CD.
Ta có: SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SM vuông góc với AC (vì AC nằm trong mặt phẳng (ABCD)).
Ta có: SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA vuông góc với AC.
Vậy, ta suy ra AC vuông góc với SD.
b) Ta có:

Gọi E là giao điểm của SH và OD.
Ta có: SE vuông góc với OH (vì SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SE nằm trong mặt phẳng đó).
Ta có: OE vuông góc với HD (vì OD vuông góc với AB và HD là đường trung bình của tam giác ABM).
Ta có: HE = EA (vì H là trung điểm của AB).
Từ đó, ta suy ra ∆SEH đồng dạng với ∆OEA.
Vậy, ta suy ra ∠SHO = ∠SEO = ∠OEA = 45°.
Ta có: CD vuông góc với AC (vì AC vuông góc với SD), nên CD vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Vậy, ta suy ra CD vuông góc với (SHO).
c) Ta có:

Gọi K là giao điểm của OH và SD.
Ta có: ∆SOK đồng dạng với ∆OHD (vì cả hai đều là tam giác vuông cân).
Từ đó, ta suy ra: SK/OD = SO/OH = 1.
Ta có: ∆SCK đồng dạng với ∆OCA (vì cả hai đều là tam giác vuông cân).
Từ đó, ta suy ra: SK/OC = SO/AC = 1/√2.
Giải phương trình này, ta tính được: SK = OD/√2.
Ta có: ∆SOK vuông tại K, nên cos(∠SOK) = OK/SK = √2/2.
Ta có: ∆SAD đồng dạng với ∆SBC (vì cả hai đều là tam giác vuông cân), nên SA/SC = AD/BC = 1.
Từ đó, ta suy ra: SC = SA√2.
Ta có: ∆SOA vuông tại O, nên cos(∠SOA) = OA/SO = √2/2.
Từ đó, ta suy ra: sin(∠SOA) = √2/2.
Áp dụng công thức cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b), ta tính được: cos(∠KSD - ∠SOA) = (√2/2)² + (√2/2)² = 1/2.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn muốn hỏi bài tập?

1 câu trả lời 980

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 11