I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Biết 143 - x = 57, giá trị của x là

A. 86

B. 200

C. 144

D. 100

Câu 2: Chiếc đồng hồ gỗ dưới đây có dạng hình gì:

A. Tam giác

B. Hình vuông

C. Hình chữ nhật

D. Hình lục giác đều

Câu 3: Cho hình vuông ABCD. Khẳng định sai là:

A. Hình vuông ABCD có bốn cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = AD.

B. Hình vuông ABCD có bốn góc ở đỉnh A; B; C; D bằng nhau.

C. Hình vuông ABCD có hai đường chéo bằng nhau: AC = BD.

D. Hình vuông ABCD có hai cặp cạnh đối song song AB và BC; CD và AD.

Câu 4: Tập hợp các ước chung của 12 và 20 là:

A. {1; 2; 4; 5}

B. {2; 4; 5}

C. {1; 2; 4}

D. {1; 4; 5; 15}

Câu 5: Số đối của số 20 là:

A. 1

B. 0

C. -1

D. -20

Câu 6: Tam giác và hình vuông bên dưới có chu vi bằng nhau. Độ dài cạnh của hình vuông bên dưới là:

A. 8cm

B. 12cm

C. 16cm

D. 24cm

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên x thoản mãn -4 < x < 3.

A. 7 

B. 6 

C. 5 

D. 8 

Câu 8: Thay x, y bằng những số nào để sốchia hết cho cả 2, 3, 5 và 9?

A. x = 3; y = 0

B. x = 4; y = 0

C. x = 0; y = 4

D. x = 8; y = 5.

II. Tự luận

Bài 1 (2 điểm): Thực hiện phép tính

a. 2².85 + 15.2² - 2020⁰

b. 50 + [65 - (9 - 4)²]

c. (39 - 19) : (-2) + (34 - 22).5

d. 123.456 + 456.321 – 256.444

Bài 2 (1,5 điểm): Tìm x

a. 3x – 2 = 19

b. [43 - (56 - x)].12 = 384

c. 3^x.2 + 15 = 33

Bài 3 (2 điểm): Cô Hoa muốn lát nền cho một căn phòng của nhà mình có hình chữ nhật với chiều dài là 8m và chiều rộng là 5m. Loại gạch lát nền được sử dụng là gạch vuông có cạnh 40cm. Hỏi cô Hoa phải sử dụng bao nhiêu viên gạch (coi mạch vữa không đáng kể).

Bài 4 (2 điểm): Bạn Hà có 42 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng. Hà có thể chia nhiều nhất vào bao nhiêu túi sao cho số bi đỏ và bi vàng được chia đều vào các túi? Khi đó mỗi túi có bao nhiêu viên bi đỏ và vàng.

Bài 5 (0,5 điểm): Tìm cặp số tự nhiên x, y biết: (x + 5)(y - 3) = 15.

I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Biết 143 - x = 57, giá trị của x là

A. 86

B. 200

C. 144

D. 100

Giải thích: 

x = 143 – 57

x = 86

Câu 2: Chiếc đồng hồ gỗ dưới đây có dạng hình gì:

A. Tam giác

B. Hình vuông

C. Hình chữ nhật

D. Hình lục giác đều

Giải thích: Ta đếm được chiếc đồng hồ là hình có 6 cạnh và tiến hành đo bằng thước kẻ thấy 6 cạnh đó bằng nhau nên là lục giác đều

Câu 3: Cho hình vuông ABCD. Khẳng định sai là:

A. Hình vuông ABCD có bốn cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = AD.

B. Hình vuông ABCD có bốn góc ở đỉnh A; B; C; D bằng nhau.

C. Hình vuông ABCD có hai đường chéo bằng nhau: AC = BD.

D. Hình vuông ABCD có hai cặp cạnh đối song song AB và BC; CD và AD.

Giải thích:

A. đúng vì bốn cạnh AB; BC: CD; AD bằng nhau

B. đúng vì bốn góc ở đỉnh A; B; C; D bằng nhau.

C. đúng vì có hai đường chéo bằng nhau: AC = BD

D. sai vì AB và BC; CD và AD không phải các cạnh đối nên nó không song song.

Câu 4: Tập hợp các ước chung của 12 và 20 là:

A. {1; 2; 4; 5}

B. {2; 4; 5}

C. {1; 2; 4}

D) {1; 4; 5; 15}

Giải thích:

12 = 2.2.3 = 2².3

20 = 2.2.5 = 2².5

ƯCLN (12; 20) = 2² = 4

ƯC (12; 20) = {1; 2; 4}

Câu 5: Số đối của số 20 là:

A. 1

B. 0

C. -1

D. -20

Giải thích: Số đối của số 20 là -20 vì 20 + (-20) = 0

Câu 6: Tam giác và hình vuông bên dưới có chu vi bằng nhau. Độ dài cạnh của hình vuông bên dưới là:

A. 8cm

B. 12cm

C. 16cm

D. 24cm

Giải thích: Chu vi tam giác là: 12 + 16 + 20 = 48 (cm)

Do chu vi tam giác bằng chu vi hình vuông nên chu vi hình vuông là 48cm

Độ dài cạnh hình vuông là: 48:4 = 12 (cm)

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên x thoản mãn -4 < x < 3.

A. 7 

B. 6 

C. 5 

D. 8 

Giải thích: Tập số nguyên x thỏa mãn -4 < x < 3 là {-3; -2; -1; 0; 1; 2}

Vậy có 6 số nguyên x thỏa mãn

Câu 8: Thay x, y bằng những số nào để sốchia hết cho cả 2, 3, 5 và 9?

A. x = 3; y = 0

B. x = 4; y = 0

C. x = 0; y = 4

D. x = 8; y = 5.

Giải thích: Đểvừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 thì y phải có giá trị là 0

chia hết cho 3 và 9 thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 3 và 9.

Ta có: 2 + 3 + x + 0 = 5 + x

Mà x, y ∈ ℕ^*; 0 ≤ x, y ≤ 9 nên ta có x = 4 (vì 5 + 4 = 9 chia hết cho 3 và chia hết cho 9).

Vậy x = 4; y = 0.

II. Tự luận

Bài 1 (2 điểm): 

a. 2².85 + 15.2² - 2020⁰

= 4.85 + 15.4 – 1

= 4.(85 + 15) – 1

= 4.100 – 1

= 400 – 1 

= 399

b. 50 + [65 - (9 - 4)²]

= 50 +

= 50 + [65 – 25]

= 50 + 40

= 90

c. (39 - 19) : (-2) + (34 - 22).5

= 20 : (-2) + 12.5

= -10 + 60 

= 50

d. 123.456 + 456.321 – 256.444

= 456.(123 + 321) – 256.444

= 456.444 – 256.444

= 444.(456 – 256)

= 444

Bài 2 (1,5 điểm): 

a. 3x – 2 = 19

3x = 19 + 2

3x = 21

x = 21:3

x = 7

b. [43 - (56 - x)].12 = 384

43 – (56 – x) = 384:12

43 – (56 – x) = 32

56 – x = 43 – 32

56 – x = 11

x = 56 – 11

x = 45

c. 3^x.2 + 15 = 33

3^x.2 = 33 - 15

3^x.2 = 18

3^x = 18 : 2

3^x = 9

3^x = 3³

x = 2.

Bài 3 (2 điểm): 

Đổi 8m = 800cm

5m = 500cm

Diện tích căn phòng là: 500.800 = 400 000 (cm²)

Diện tích một viên gạch là: 40.40 = 1600 (cm²)

Số viên gạch cô Hoa cần dùng để lát nền nhà là:

400000 : 1600 = 250 (viên)

Bài 4 (2 điểm): 

Gọi số túi bi chia được nhiều nhất là x ( x ∈ ℕ^*)

Vì số bi đỏ và vàng mỗi túi là đều nhau nên 42 ⋮ x và 30 ⋮ x. Do đó x là ước chung của 42 và 30.

Mặt khác x lớn nhất (chia vào nhiều túi nhất) nên x là ước chung lớn nhất của 42 và 30.

Ta có:

42 = 2.3.7

30 = 2.3.5

ƯCLN (42; 30) = 2.3 = 6

Vậy x = 6

Khi đó:

Số bi màu vàng mỗi túi là

30: 6 = 5 (viên)

Số bi màu đỏ mỗi túi là

42: 6 = 7 (viên)

Bài 5 (0,5 điểm): Tìm cặp số tự nhiên x, y biết: (x + 5)(y - 3) = 15

(x + 5)(y - 3) = 15

(x + 5)(y – 3) = 1.15 = 15.1 = 3.5 = 5.3

Trường hợp 1: Với x + 5 = 1 (vô lí vì x, y ∈ ℕ)

Trường hợp 2: Với x + 5 = 15 thì x = 10 

Khi đó: y – 3 = 1 thì y = 4

Trường hợp 3: Với x + 5 = 3 (vô lí vì x, y ∈ ℕ)

Trường hợp 4: Với x + 5 = 5 thì x = 0

Khi đó: y – 3 = 3 thì y = 6.

Bài 1 (2 điểm): Thực hiện phép tính (Hợp lí nếu có thể):

a. 45.37 + 45.63 - 100

b. 148.9 - 3².48

c. 307 - [(180.4⁰ - 160) : 2² + 9] : 2

d. 12 + 3.{90 : [39 - (2³ - 5)²]}

Bài 2 (3 điểm):

1. Tìm số nguyên x, biết:

a. x - 17 = 23

b. 2(x – 1) = 7 + (-3)

c. 4.(x + 5)³ -7 = 101

d. 2^{x + 1}.3 + 15 = 39

2. Tìm x biết:

56 ⋮ x; 70 ⋮ x và 10 < x < 20; x ∈ N

Bài 3 (2,5 điểm) Một trường THCS tổ chức cho học sinh đi trải nghiệm thực tế ở nhà máy thủy điện Hoà Bình. Sau khi học sinh đăng kí, ban tổ chức tính toán và thấy rằng nếu xếp mỗi xe 36 học sinh, 40 học sinh hay 45 học sinh đều vừa đủ. Tính số học sinh đi trải nghiệm biết rằng số học sinh tham gia trong khoảng 1000 đến 1100 học sinh.

Bài 4 (2 điểm): Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 25 m, chiều rộng 15m. Người ta làm hai lối đi rộng 1 m như hình vẽ. Phần đất còn lại dùng để trồng cây. Tính diện tích đất dùng để trồng cây.

Bài 5 (0,5 điểm): Cho A = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + .... + 2¹⁹ . Và B = 2²⁰. Và B = 2²⁰. Chứng minh rằng A và B là hai số tự nhiên liên tiếp.

Bài 1 (2 điểm): 

a. 45.37 + 45.63 - 100

= 45.(37 + 63) – 100

= 45.100 – 100

= 100.(45 – 1) 

= 100.44 = 4400

b. 148.9 - 3².48

= 148.9 – 9.48

= 9.(148 – 48)

= 9.100 = 900

c. 307 - [(180.4⁰ - 160) : 2² + 9] : 2

= 307 – [(180.1 – 160):4 + 9]:2

= 307 – [20:4 + 9]:2

= 307 – [5 + 9]:2

= 307 – 14:2

= 307 – 7 = 300

d. 12 + 3.{90 : [39 - (2³ - 5)²]}

= 12 + 3.{90:[39 – (8 – 5)²]}

= 12 + 3.{90:[39 – 3²]}

= 12 + 3.{90:[39 – 9]}

= 12 + 3.{90:30}

= 12 + 3.3 = 12 + 9 = 21

Bài 2 (3 điểm):

1. 

a. x - 17 = 23

x = 23 + 17

x = 40

b. 2(x – 1) = 7 + (-3)

2(x – 1) = 4

x – 1 = 4:2

x – 1 = 2

x = 2 + 1

x = 3

c. 4.(x + 5)³ - 7 = 101

4.(x + 5)³ = 101 + 7

4.(x + 5)³ = 108

(x + 5)³ = 108 : 4

(x + 5)³ = 27

(x + 5)³ = 3³

x + 5 = 3

x = 3 – 5

x = -2

d. 2^{x + 1}.3 + 15 = 39

2^{x + 1}.3 = 39 - 15

2^{x + 1}.3 = 24

2^{x + 1} = 24 : 3

2^{x + 1} = 8

2^{x + 1} = 2³

x + 1 = 3

x = 3 – 1

x = 2

2. 

Vì 56 ⋮ x; 70 ⋮ x nên x là ước chung của 56 và 70

Ta có: 56 = 2.2.2.7 = 2³.7

70 = 2.5.7

ƯCLN (56; 70) = 2.7 = 14

ƯC (56; 70) = {±1; ±2; ±7; ±14}

Vì 10 < x < 20; x ∈ N nên x = 14.

Bài 3 (2,5 điểm):

Gọi số học sinh của trường đó là x (x ∈ ℕ*; 1000 < x < 1100)

Vì khi xếp mỗi xe 36 học sinh thì vừa đủ nên x thuộc B(36)

Vì khi xếp mỗi xe 40 học sinh thì vừa đủ nên x thuộc B(40)

Vì khi xếp mỗi xe 45 học sinh thì vừa đủ nên x thuộc B(45)

Do đó x ∈ BC (36; 40; 45)

Ta có: 

36 = 2.2.3.3 = 2².2³

40 = 2.2.2.5 = 2³.5

45 = 3.3.5 = 3².5

BCNN (36; 40; 45) = 2³.3².5 = 8.9.5 = 360

BC (36; 40; 45) = {0; 360; 720; 1080; 1440; ...}

Vì 100 < x < 1100 nên x = 1080

Vậy trường đó có 1080 (học sinh)

Bài 4 (2 điểm): 

Nhìn vào hình vẽ ta thấy diện tích đất trồng cây là 4 mảnh đất hình chữ nhật nhỏ có kích thước như nhau.

Chiều dài của các 1 mảnh đất nhỏ màu xanh đó là:     

(25 - 1):2 = 12 (m)

Chiều rộng của các mảnh đất nhỏ màu xanh đó là:     

(15 - 1) : 2 = 7 (m)

Diện tích của một mảnh đất nhỏ màu xanh đó là:

12. 7 = 84 (m²)

Diện tích đất để trồng cây là:    

4. 84 = 336 (m²)

Vậy diện tích đất để trồng cây là 336 m².

Bài 5 (0,5 điểm): 

Cho A = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + .... + 2¹⁹ 

Ta có: 2A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + .... + 2²⁰

2A - A = 2²⁰ - 2⁰ = 2²⁰ - 1

hay A = 2²⁰ - 1

Và B = 2²⁰.

Do đó A và B là hai số tự nhiên liên tiếp.

I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Số phần tử của tập hợp A = {1; 5; 6; 8; 10} là:

A. 10

B. 4

C. 5

D. 2

Câu 2: Số nào trong các số sau đây chia hết cho 3?

A. 26

B. 223

C. 109

D. 2019

Câu 3: Kết quả của phép tính 3⁴.3² = ?

A. 3⁶

B. 3²

C. 3⁸

D. 3³

Câu 4: Số đối của số 3 là:

A. 3

B. -3

C. 1

D. -1

Câu 5: Trong các biển báo dưới đây, biển báo nào có đối xứng trục:

A. a, b, c.

B. b, c, d.

C. a, c, d.

D. a, b, d.

Câu 6: Trong các số: 2; 3; 6; 8 số nào là ước chung của 6 và 16 ?

A. 3

B. 2

C. 6

D. 8

Câu 7: Những hình dưới đây, hình nào có đối tâm đối xứng. 

a. Tam giác đều

b. Cánh quạt

c. Cánh diều

d. Trái tim.

Câu 8: Khẳng định nào sau đây là sai:

a. Trong tam giác đều ba góc bằng nhau.

b. Hình lục giác đều có ba đường chéo chính bằng nhau.

c. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.

d. Hình thang cân có hai góc kề cạnh bên bằng nhau.

II. Tự luận

Bài 1 (2 điểm): Thực hiện phép tính:

a. (4 + 32 + 6) + (10 – 32 – 2)

b. 300:4 + 300:6 – 25

c. 17.[29 – (-111)] + 29.(-17)

d.19.43 + (-20).43 – (-40)

Bài 2 (1,5 điểm): Tìm x:

a. 200 – 8.(2x + 7) = 112

b. (2x – 123):3 = 33

c. H = {x ∈ ℤ | -3 < x ≤ 3}

Bài 3 (2 điểm): Trên một mảnh đấtt hình chữ nhật có chiều dài 12m, chiều rộng 10m, người ta chia khu để trồng hoa, trồng cỏ như hình bên. Hoa sẽ được trồng ở khu vực hình bình hành AMCN, cỏ sẽ được trồng ở phần đất còn lại. Tiền công để trả cho mỗi mét vuông trồng hoa là 50 000 nghìn đồng, trồng cỏ là 40 000 đồng. Tính số tiền công cần chi trả để trồng hoa và cỏ.

Bài 4 (2 điểm): Ba nhóm học sinh lớp 6 tham gia trồng cây trong dịp tết trồng cây. Mỗi học sinh nhóm thứ nhất trồng được 8 cây, mỗi học sinh nhóm thứ hai trồng được 9 cây, mỗi học sinh nhóm thứ ba trồng được 12 cây. Tính số cây mỗi nhóm trồng được biết rằng số cây mỗi nhóm trồng được ở trong khoảng từ 200 đến 250 cây.

Bài 5 (0,5 điểm): Cho A = 7 + 7² + 7³ + ... + 7¹¹⁹ + 7¹²⁰. Chứng minh rằng A chia hết cho 57. 

I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Số phần tử của tập hợp A = A = {1; 5; 6; 8; 10} là:

A. 10

B. 4

C. 5

D. 2

Giải thích: Ta đếm được tập A gồm 5 phần tử.

Câu 2: Số nào trong các số sau đây chia hết cho 3?

A. 26

B. 223

C. 109

D. 2019

Giải thích: Vì tổng các chữ số của 2019 là 2 + 0 + 1 + 9 = 12 chia hết cho 3 nên 2019 chia hết cho 3.

Câu 3: Kết quả của phép tính 3⁴.3² = ?

A. 3⁶

B. 3²

C. 3⁸

D. 3³

Giải thích: Ta có: 3⁴.3² = 3⁴⁺² = 3⁶

Câu 4: Số đối của số 3 là:

A. 3

B. -3

C. 1

D. -1

Giải thích: Hai số được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

Ta có: 3 + (-3) = 0 nên -3 là số đối của 3

Câu 5: Trong các biển báo dưới đây, biển báo nào có đối xứng trục:

A. a, b, c.

B. b, c, d.

C. a, c, d.

D. a, b, d.

Giải thích: 

Đối với hình a ta có chục đối xứng như hình vẽ

Đối với hình b ta có chục đối xứng như hình vẽ

Đối với hình d ta có chục đối xứng như hình vẽ

Câu 6: Trong các số: 2; 3; 6; 8 số nào là ước chung của 6 và 16 ?

A. 3

B. 2

C. 6

D. 8.

Giải thích:

Số 3 là ước của 6 nhưng không phải ước của 16 vì 6 chia hết cho 3 nhưng 16 không chia hết cho 3.

Số 2 là ước của 6 và 16 vì 6 chia hết cho 2 và 16 chia hết cho 2.

Số 6 là ước của 6 nhưng không phải ước của 16 vì 6 chia hết cho 6 nhưng 16 không chia hết cho 6.

Số 8 là ước của 16 nhưng không phải ước của 6 vì 16 chia hết cho 8 nhưng 6 không chia hết cho 8.

Câu 7: Những hình dưới đây, hình nào có đối tâm đối xứng. 

a. Tam giác đều

b. Cánh quạt

c. Cánh diều

d. Trái tim.

Giải thích: Cánh quạt có tâm đối xứng như hình vẽ:

Câu 8: Khẳng định nào sau đây là sai:

a. Trong tam giác đều ba góc bằng nhau.

b. Hình lục giác đều có ba đường chéo chính bằng nhau.

c. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.

d. Hình thang cân có hai góc kề cạnh bên bằng nhau.

Giải thích: 

a. Đúng vì đó là tính chất của tam giác đều.

b. Đúng vì đó là tính chất của hình lục giác đều

c. Đúng vì đó là tính chất của hình thoi.

d. Sai vì hình thang cân có hai góc kề một đáy bằng nhau chứ không phải hai góc kề cạnh bên bằng nhau

II. Tự luận

Bài 1 (2 điểm):

a. (4 + 32 + 6) + (10 – 32 – 2)

= (36 + 6) + (-22 – 2)

= 42 + (-24) = 42 – 24 = 18

b. 300:4 + 300:6 – 25

= 75 + 50 – 25 = 125 – 25 = 100

c. 17.[29 – (-111)] + 29.(-17)

= 17.(29 + 111) – 29.17

= 17.29 + 17.111 – 29.17

= (17.29 – 29.17) + 17.111

= 0 + 1887 = 1887

d. 19.43 + (-20).43 – (-40)

= 19.43 – 20.43 + 40

= 43(19 – 20) + 40

= 43.(-1) + 40

= -43 + 40 = -3

Bài 2 (1,5 điểm): Tìm x:

a.. 200 – 8.(2x + 7) = 112

-8.(2x + 7) = 112 – 200

-8.(2x + 7) = -88

2x + 7 = (-88):(-8)

2x + 7 = 11

2x = 11 – 7

2x = 4

x = 4:2

x = 2.

b. (2x – 123):3 = 33

2x – 123 = 33.3

2x – 123 = 99

2x = 99 + 123

2x = 222

x = 222:2

x = 111

c. H = {x ∈ ℤ | -3 < x ≤ 3}

Vì H = nên H = {-2; -1; 0; 1; 2; 3}

Vậy x ∈ {-2; -1; 0; 1; 2; 3}

Bài 3 (2 điểm):

Dễ thấy trong hình bình hành AMCN chiều cao tương ứng của cạnh AN là MN và MN = AB = 10m

Do đó diện tích hình bình hành AMCN là:    

6. 10 = 60 (m²)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:    

10. 12 = 120 (m²)

Phần diện tích còn lại trồng cỏ là:    

120 - 60 = 60 (m²)

Số tiền công cần để chi trả trồng hoa là: 

50 000. 60 = 3 000 000 (đồng)

Số tiền công cần để chi trả trồng cỏ là: 

40 000. 60 = 2 400 000 (đồng)

Số tiền công cần để chi trả trồng hoa và cỏ là:

3 000 000 + 2 400 000 = 5 400 000 (đồng)

Vậy số tiền công cần để chi trả trồng hoa và cỏ là 5 400 000 đồng.

Bài 4 (2 điểm):

Gọi số cây mỗi nhóm trồng được là x (x ∈ ℕ^*; 200 < x < 250)

Vì mỗi bạn nhóm thứ nhất trồng được 8 cây, mỗi bạn nhóm thứ hai trồng được 9 cây, mỗi bạn nhóm thứ ba trồng được 12 cây nên 

x ⋮ 8 nên x thuộc B(8)

x ⋮ 9 nên x thuộc B(9)

x ⋮ 12 nên x thuộc B(12)

Do đó, số cây mỗi nhóm trồng được là bội chung của của 8, 9, 12.

Ta có:

8 = 2.2.2 = 2³

9 = 3.3 = 3²

12 = 3.2.2 = 3.2²

BCNN(8; 9; 12) = 2³.9 = 72

Nên BC(8; 9; 12) =

Vì số cây mỗi nhóm trồng được nằm trong khoảng từ 200 đến 250 nên số cây mỗi nhóm trồng được là 216 cây.

Vậy mỗi nhóm trồng được 216 cây.

Bài 5 (0,5 điểm): 

A = 7 + 7² + 7³ + ... + 7¹¹⁹ + 7¹²⁰

A = (7¹ + 7² + 7³) + (7⁴ + 7⁵ + 7⁶) + ... + (7¹¹⁸ + 7¹¹⁹ + 7¹²⁰)

A = 7(1 + 7 + 7²) + 7⁴(1 + 7 + 7²) + ... + 7¹¹⁸(1 + 7 + 7²)

A = 7.57 + 7⁴.57 + ... + 7¹¹⁸.57

A = 57(7 + 7⁴ + ... + 7¹¹⁸)

Vì 57 ⋮ 57 nên 57(7 + 7⁴ + ... + 7¹¹⁸) ⋮ 57

Do đó A chi hết cho 57 (điều phải chứng minh)