Cho hai đường thẳng: $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{-1}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{\mathrm{z}}{3}$ và $\mathrm{d}\text{'}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=3-2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.$ Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): 2x – y + 2z + 12 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$)

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng

$∆:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{-1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$

Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng $∆$

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng

$∆:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{-1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng $∆$

Cho hai đường thẳng

$∆: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+3}{1}=\frac{\mathrm{z}-4}{-2}$ $∆\text{'}: \frac{\mathrm{x}+2}{-4}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}+1}{4}$

Tính khoảng cách giữa $∆$ và $∆$′.

Cho hai đường thẳng

$∆: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+3}{1}=\frac{\mathrm{z}-4}{-2}$ $∆\text{'}: \frac{\mathrm{x}+2}{-4}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}+1}{4}$

Xét vị trí tương đối giữa $∆$ và $∆$′ 

$∆:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=4-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1+2\mathrm{t}\end{array} \mathrm{và} ∆\text{'}\right.:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=2-3\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=-3\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

$∆:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1\end{array} \mathrm{và} ∆\text{'}\right.:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-3\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=2+3\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=3\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Cho đường thẳng: $∆:\frac{\mathrm{x}+3}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{3}=\frac{\mathrm{z}+1}{2}$ và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x – 2y + z + 3 = 0.

Tính khoảng cách giữa $∆$ và ($\mathrm{\alpha }$).

Cho đường thẳng: $∆:\frac{\mathrm{x}+3}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{3}=\frac{\mathrm{z}+1}{2}$ và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x – 2y + z + 3 = 0.

Chứng minh rằng $∆$ song song với ($\mathrm{\alpha }$).

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng $∆$: $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{at}\\ \mathrm{z}=2-\mathrm{t}\end{array}\right.$ và $\mathrm{d}\text{'}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=\mathrm{a}+4\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=2-2\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau: $\mathrm{d}\text{'}:\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}-5}{2}=\frac{\mathrm{z}-4}{2}$

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau: $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{1}=\frac{\mathrm{y}-1}{2}=\frac{\mathrm{z}+3}{3}$

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) trong các trường hợp sau:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1+2\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ($\mathrm{\alpha }$): x + y + z - 6 = 0

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) trong các trường hợp sau:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2+\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ($\mathrm{\alpha }$): x + z + 5 = 0

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) trong các trường hợp sau:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ($\mathrm{\alpha }$): x + 2y + z - 3 = 0

Viết phương trình của đường thẳng $∆$ nằm trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): x + 2z = 0 và cắt hai đường kính

${\mathrm{d}}_1\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=4\mathrm{t}\end{array}\right.$và ${\mathrm{d}}_2\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=4+2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=4\end{array}\right.$

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng $∆$ trong các trường hợp sau: $∆$ đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x – y + z + 9 = 0

Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Viết phương trình của mặt phẳng ($\mathrm{\beta }$) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): 2x – y + 3z + 4 = 0

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây: (${\mathrm{\alpha }}_3$): x – y + 2z – 4 = 0, ($\mathrm{\alpha }{\text{'}}_3$): 10x − 10y + 20z – 40 = 0

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây: (${\mathrm{\alpha }}_2$): x − 2y + z + 3 = 0, ($\mathrm{\alpha }{\text{'}}_2$): x − 2y – z + 3 = 0

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây: (${\mathrm{\alpha }}_1$): 3x − 2y − 3z + 5 = 0, ($\mathrm{\alpha }{\text{'}}_1$): 9x − 6y − 9z – 5 = 0

Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.

Lập phương trình của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:

($\mathrm{\beta }$): 3x – 2y + 2z + 7 = 0

($\mathrm{\gamma }$): 5x – 4y + 3z + 1 = 0

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng

($\mathrm{\alpha }$) : 3x – y + 4z + 2 = 0

Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:

($\mathrm{\alpha }$): Ax – y + 3z + 2 = 0

Lập phương trình mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng ($\mathrm{\beta }$): x + 2y – z = 0 .