Hãy thử lại và cho biết các khẳng định sau có đúng không: $\left(z – 2\right)\left(z^2+1\right)= 2z + 5 \iff z = 3$

Hãy thử lại và cho biết các khẳng định sau có đúng không: $x^3 + 3x = 2x^2 – 3x + 1 \iff x=-1$

Trong các số -2; -1,5; -1; 0,5; 2/3 ;2 ;3 số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau: $\frac{3x-4}{2}+1=0$

Trong các số -2; -1,5; -1; 0,5; 2/3 ;2 ;3 số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau: t + 3 = 4 - t

Trong các số -2; -1,5; -1; 0,5; 2/3 ;2 ;3 số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau: $y^2-3=2y$

Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tai mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).

(Đề thi học sinh giỏi, lớp 8 toàn quốc năm 1980). Thực hiện phép tính:

(Đề thi học sinh giỏi toán cấp 2, Miền Bắc năm 1963)

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x = -1,76 và y = 3/25;

$P=\left[\left(\frac{x-y}{2y-x}-\frac{x^2+y^2+y-2}{x^2-xy-2y^2}\right):\frac{4x^2+4x^{2}y+y^2-4}{x^2+y+xy+x}\right]:\frac{x+1}{2x^2+y+2}$

Chú ý rằng vì ${\left(x+a\right)}^2\ge 0$ với mọi giá trị của x và ${\left(x+a\right)}^2=0$khi x = -a nên ${\left(x+a\right)}^2+b\ge 0$ với mọi giá trị của x và ${\left(x+a\right)}^2+b=b$ khi x = -a .Áp dụng điều này giải các bài tập sau:

Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức:$\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.

Chú ý rằng vì ${\left(x+a\right)}^2\ge 0$ với mọi giá trị của x và ${\left(x+a\right)}^2=0$khi x = -a nên ${\left(x+a\right)}^2+b\ge 0$ với mọi giá trị của x và ${\left(x+a\right)}^2+b=b$ khi x = -a .Áp dụng điều này giải các bài tập sau:

Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức $\frac{x^2}{x-2}.\left(\frac{x^2+4}{x}-4\right)+3$có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

Chú ý rằng nếu c > 0 thì ${\left(a+b\right)}^2+c$ và ${\left(a+b\right)}^2+c$ đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng:

Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3, biểu thức:

$\frac{1-x^2}{x}.\left(\frac{x^2}{x+3}-1\right)+\frac{3x^2-14x+3}{x^2+3x}$ luôn luôn có giá trị âm.

Chú ý rằng nếu c > 0 thì ${\left(a+b\right)}^2+c$ và ${\left(a+b\right)}^2+c$ đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng:

Với mọi giá trị của x khác $\pm$1, biểu thức:

$\frac{x+2}{x-1}\left(\frac{x^3}{2x+2}+1\right)-\frac{8x+7}{2x^2-2}$ luôn luôn có giá trị dương.

Chứng minh rằng: Giá trị của biểu thức $\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+3}.\left(\frac{x+3}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-9}\right)$ bằng 1 khi x $\ne$ 0, x $\ne$ 3, x $\ne$ - 3 và x $\ne$ - 3/2 .

Chứng minh rằng: Giá trị của biểu thức ${\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2:\left[\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{2}{x+1}\left(\frac{1}{x}+1\right)\right]$bằng 1 với mọi giá trị x $\ne$ 0 và x $\ne$ -1.

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến x: $\left(\frac{x}{x^2-36}-\frac{x-6}{x^2+6x}\right):\frac{2x-6}{x^2+6x}+\frac{x}{6-x}$

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến x: $\frac{1}{x-1}-\frac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\frac{x}{x^2-2x+1}-\frac{1}{x^2-1}\right)$

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến x: $\frac{{\displaystyle \frac{x}{x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}}{{\displaystyle \frac{2x+2}{x-1}}-{\displaystyle \frac{4x}{x^2-1}}}$

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến x: $\frac{x-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x}}-{\displaystyle \frac{2x+2}{x}}}$

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0.

$\frac{x^2-25}{{\displaystyle \frac{x^2+10x+25}{x-5}}}$

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0.

$\frac{x^2-25}{{\displaystyle \frac{x^2-10x+25}{x}}}$

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0.

$\frac{{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x}}}{x-1}$

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0.

$\frac{2x-3}{{\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}}$

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định: $\frac{x^2-25}{{\displaystyle \frac{x^2+10x+25}{x-5}}}$

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định: $\frac{x^2-25}{{\displaystyle \frac{x^2-10x+25}{x}}}$

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định: $\frac{{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x}}}{x-1}$

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định: $\frac{2x-3}{{\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}}$

Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0.Ví dụ giá trị của phân thức $\frac{x^2-25}{x+1}=0$ khi$x^2-25=0$ và x + 1 $\ne$ 0 hay (x - 5)(x + 5) = 0 và x $\ne$ -1. Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi x = $\pm$5. Tìm các giá trị của của x để giá trị mỗi phân thức sau có giá trị bằng 0?

$\frac{3x-2}{x^2+2x+1}$

Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0.Ví dụ giá trị của phân thức $\frac{x^2-25}{x+1}=0$ khi$x^2-25=0$ và x + 1 $\ne$ 0 hay (x - 5)(x + 5) = 0 và x $\ne$ -1. Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi x = $\pm$5. Tìm các giá trị của của x để giá trị mỗi phân thức sau có giá trị bằng 0?

$\frac{98x^2-2}{x-2}$

Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức:

$\frac{{\displaystyle \frac{5}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{x+1}}}{{\displaystyle \frac{9-x^2}{x^2+2x+1}}}$

Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức:

$\frac{{\displaystyle \frac{x}{x-1}}-{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x+1}}-{\displaystyle \frac{x-1}{x}}}$

Chứng minh đẳng thức: 

$\left[\frac{2}{{\left(x+1\right)}^3}.\left(\frac{1}{x}+1\right)+\frac{1}{x^2+2x+1}\left(\frac{1}{x^2}+1\right)\right]:\frac{x-1}{x^3}=\frac{x}{x-1}$

Chứng minh đẳng thức: $\left[\frac{2}{3x}-\frac{2}{x+1}\left(\frac{x+1}{3x}-x-1\right)\right]:\frac{\left(x-1\right)}{x}=\frac{2x}{x-1}$

Chứng minh đẳng thức:

$\left(\frac{x^2-2x}{2x^2+8}-\frac{2x^2}{8-4x+2x^2-x^3}\right).\left(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)=\frac{x+1}{2x}$

$\left(\frac{x^2+xy}{x^3+x^{2}y+x{y}^2+y^3}+\frac{y}{x^2+y^2}\right):\left(\frac{1}{x-y}-\frac{2xy}{x^3-x^{2}y+x{y}^2-y^3}\right)$

$\left(\frac{x}{x^2-25}-\frac{x-5}{x^2+5x}\right):\frac{2x-5}{x^2+5x}+\frac{x}{5-x}$

$\left(\frac{3x}{1-3x}+\frac{2x}{3x+1}\right):\frac{6x^2+10x}{1-6x+9x^2}$

$\left(\frac{2}{x-2}-\frac{2}{x+1}\right).\frac{x^2+4x+4}{8}$

$\left(\frac{9}{x^3-9x}+\frac{1}{x+3}\right):\left(\frac{x-3}{x^2+3x}-\frac{x}{3x+9}\right)$

Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1: $\frac{1+x^2-{\displaystyle \frac{4}{x+1}}}{2-{\displaystyle \frac{4}{x+1}}}$

Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1: $\frac{1+x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{2+{\displaystyle \frac{1}{x}}}$