Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; 0; 0), N (1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua M, N cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B (0; b; 0), C (0; 0; c) (b, c > 0). Hệ thức nào dưới đây là đúng?

A. bc = 2 (b+c)

B.$bc=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

C. bc = b + c

D. bc = b - c

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (2; -3; 2), B (3; 5; 4). Tìm toạ độ điểm M trên trục ?z sao cho MA² + MB² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M (0; 0; 49) 

B. M (0; 0; 67)

C. M (0; 0 ;3)

D. M (0; 0; 0)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ x – z – 3 = 0 và điểm M (1; 1; 1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz. Gọi B là hình chiếu của A lên (α). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

A.$6\sqrt{3}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{3\sqrt{3}}{12}$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{3\sqrt{123}}{2}$

D.$3\sqrt{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD (tham khảo hình vẽ bên).

Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD)

$\mathbf{A}\mathbf{.} \frac{2\sqrt{39}}{39}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{\sqrt{3}}{6}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \frac{2\sqrt{39}}{13}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \frac{\sqrt{13}}{13}$

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x + y -2z – 2 – 0, đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{2}$  và điểm $A\left(\frac{1}{2};1;1\right)$.  Gọi Δ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α), song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng Δ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng.

A. 7/2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{1}$ và mặt phẳng (α): x + y -z – 2 = 0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (α), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d?

$\mathbf{A}\mathbf{.} {∆}_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-4}{3}$

$\mathbf{B}\mathbf{.}\mathbf{ }{∆}_4:\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}}{1}$

$\mathbf{C}. {∆}_3:\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-5}{1}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} {∆}_1:\frac{x+2}{-3}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+4}{-1}$

Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 1; 2). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Gọi $\overrightarrow{n}=(1;a;b)$  là một véc tơ pháp tuyến của (P). Tính S = a³ - 2b

A. S = 0

B. S = - 3

C. S = 6

D. S = -15/8

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\widehat{ABC}={60}^o$. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC = 4 BH. Biết SA tạo với đáy một góc 60⁰. Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

A. 60⁰

B. 45⁰

C. 90⁰

D. 30⁰

Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng

Trên đường thẳng d₁ lấy hai điểm A, B thỏa mãn AB = 3  . Trên đường thẳng d₂ lấy hai điểm C, D thỏa mãn CD = 4. Tính thể tích C của tứ diện ABCD.

A. V = 7

B. V = 2√21

C. $V=\frac{4\sqrt{21}}{3}$

D. $V=\frac{5\sqrt{21}}{6}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): x - 2y + 2z -5 = 0, A (-3; 0; 1), b (1; -1; 3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

$\mathbf{A}\mathbf{.} \frac{\mathrm{x}+3}{1}=\frac{\mathrm{y}}{-1}=\frac{\mathrm{z}-1}{2}$

$\mathbf{B}. \frac{x+3}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{2}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}}{-2}=\frac{\mathrm{z}-1}{2}$

$\mathbf{D}. \frac{x+3}{2}=\frac{y}{-6}=\frac{z-1}{-7}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (-1; -2; 0), B (0; -4; 0), C (0; 0; -3). Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

$\mathbf{A}. \left(P\right):2x-y+3z=0$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \left(P\right):6x-3y+5z=0$

$\mathit{C}\mathbf{.} \left(P\right):2x-y-3z=0$

$\mathit{D}\mathbf{.} \left(P\right):-6x+3y+4z=0$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M (1; 3; -2), cắt các tia Ox, Oy, OZ lần lượt tại A, B, C sao cho $\frac{OA}{1}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}$

$\mathbf{A}. 2x-y-z-1=0$

$\mathit{B}\mathbf{.}\mathbf{ }x+2y+4z+1=0$

$C. 4x+2y+z+1=0$

$\mathbf{D}. 4x+2y+z-8=0$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 6z -1 = 0 và hai điểm A (1; -1; 0), B (-1; 0; 1). Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bao nhiêu?

$\mathbf{A}\mathbf{.} \sqrt{\frac{255}{61}}$

$\mathbf{B}.\sqrt{\frac{237}{41}}$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }\sqrt{\frac{137}{41}}$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\mathbf{ }\sqrt{\frac{155}{61}}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{4}$  và mặt cầu $\left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=2$ . Hai mặt phẳng (P), (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN bằng?

A. 2$\sqrt{2}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{4\sqrt{3}}{3}$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{2\sqrt{3}}{3}$

D. 4

Cho khối cầu tâm O bán kính 6 cm. Mặt phẳng (P) cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn (C). Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C). Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của x bằng:

A. 2 cm. 

B. 3 cm. 

C. 4 cm. 

D. 0 cm.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (3; 4; 5) và mặt phẳng (P): x - y + 2z - 3 = 0. Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là:

A. H (1; 2; 2)

B. H (2; 5; 3)

C. H (6; 7; 8)

D. H (2; -3; -1)

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng${∆}_1:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+t\\ z=-t\end{array}\right.,{∆}_2:\left\{\begin{array}{c}x=4+t\\ y=3-2t\\ z=1-t\end{array}\right.$.Gọi (S) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂. Bán kính mặt cầu (S).

$\mathbf{A}.\frac{\sqrt{10}}{2}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{\sqrt{11}}{2}$

C. 3/2

D. $\sqrt{2}$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (3; 0; 0), B (1; 2; 1) và C (2; -1; 2). Biết mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10; a; b). Tổng a + b là:

A. -2

B. 2

C. 1

D. -1

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng $d_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-2}$ , $d_2:\frac{x+1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+4}{-1}$và $d_3:\frac{x+3}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{6}$.Đường thẳng song song d₃, cắt d₂ và d₁ có phương trình là:

$\mathbf{A}\mathbf{.}\frac{\mathrm{x}-3}{4}=\frac{\mathrm{y}+1}{1}=\frac{\mathrm{z}-2}{6}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{\mathrm{x}-3}{-4}=\frac{\mathrm{y}+1}{1}=\frac{\mathrm{z}-2}{-6}$

$\mathbf{C}.\frac{x+1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{6}$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\frac{\mathrm{x}-1}{4}=\frac{\mathrm{y}}{-1}=\frac{\mathrm{z}+4}{6}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0; 2; 2), B (2; -2; 0). Gọi I₁ (1; 1; -1) và I₂ (3; 1; 1) là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB. Biết rằng luôn có một mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính R của (S).

$\mathbf{A}\mathbf{.} R=\frac{\sqrt{219}}{3}$

B. R = 2$\sqrt{2}$

$\mathbf{C}. R=\frac{\sqrt{129}}{3}$

D. R = 2$\sqrt{6}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}$ , mặt phẳng (P): x + y - 2z + 5 = 0 và A (1; -1; 2). Đường thẳng Δ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Một vectơ chỉ phương của Δ là:

$\mathbf{A}.\overrightarrow{u}=\left(2;3;2\right)$

$\mathbf{B}.\overrightarrow{u}=\left(1;-1;2\right)$

$\mathbf{C}.\overrightarrow{u}=\left(-3;5;1\right)$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\overrightarrow{u}=\left(4;5;-13\right)$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (-1; 0; 1), B (3; 2; 1), C (5; 3; 7). Gọi M (a; b; c) là điểm thỏa mãn MA = MB và MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + b + c

A. P = 4

B. P = 0

C. P = 2

D. P = 5

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1; 2; 3), B (1; 0; -1), C (2; -1; 2). Điểm D thuộc tia Oz sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện ABCD bằng $\frac{3\sqrt{30}}{10}$  có tọa độ là:

A. (0; 0 ; 1)

B. (0; 0 ; 3)

C. (0; 0 ; 2)

D. (0; 0 ; 4)

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x+1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+2}{2}$và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là:

A. (-1; 0; 4)

B. (7; 1; -1)

C. (2; 1; -2)

D. (0; 2; -5)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (-2; 2; -2); B(3; -3; 3). Điểm M trong không gian thỏa mãn MA/MB = 2/3. Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng:

A. 6$\sqrt{3}$

B. 12$\sqrt{3}$

C. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$

D.  5$\sqrt{3}$

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm M (1; 2; 1); N (-1; 0; -1). Có bao nhiêu mặt phẳng qua M, N cắt trục Ox, trục Oy lần lượt tại A, B (A ≠ B) sao cho AM = √3BN

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (0; 8; 2), B (9; -7; 23) và mặt cầu (S) có phương trình (S): (x - 5)² + ($y+3$)² + (z + 2)² = 72. Mặt phẳng (P): x + by + cz + d = 0 đi qua điểm A và tiếp xúc với mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Giá trị của b + c + d khi đó là:

A. b + c + d = 2

B. b + c + d = 4

C. b + c + d = 3

D. b + c + d = 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y -2z + m = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² - 2x + 4y -6z - 2= 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi bằng 4π√3

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh bên bằng cạnh đáy.Đường thẳng MN (M ∈ A'C, N ∈ BC') là đường vuông góc chung của A'C và BC'. Tỷ số NB/NC' bằng:

A.$\sqrt{5}/2$

B. 3/2

C. 2/3

D. 1

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 1), B (2; 1; -3). Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho $M{A}^2-2M{B}^2$  lớn nhất.

$\mathbf{A}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathrm{M}\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};0\right)$

$\mathbf{B}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathrm{M}\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{2};0\right)$

C. M (0; 0; 5)

D. M (3; -4; 0)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1; 1; 2), B (-1; 0; 4), C (0; -1; 3) và điểm M thuộc mặt cầu (S): x² + y² + (z - 1)² = 1. Khi biểu thức MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn AM bằng:

A. $\sqrt{2}$

B. $\sqrt{6}$

C. 6

D. 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y + z -1 = 0 và điểm A (0; -2; 3), B (2; 0; 1). Điểm M (a; b; c) thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Giá trị của a² + b² + c² bằng:

A. 41/4

B. 9/4

C. 7/4

D. 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M (3; 4; 5) và mặt phẳng (P): x - y + 2z - 3 = 0. Hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) là:

A. H (2; 5; 3) 

B. H (2; -3; 1) 

C. H (6; 7; 3) 

D. H (1; 5; 2) 

Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn đường thẳng:

$d_1:\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+1}{1}; d_2:\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{1}$

$d_3:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}; d_4:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{-1}$

Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

A. 0

B. 2

C. Vô số.

D. $1$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (-1; 2; 4) và B (0; 1; 5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?

$\mathit{A}\mathbf{.}\mathbf{ }d=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\mathit{B}\mathbf{.}\mathbf{ }d=\sqrt{3}$

$\mathit{C}\mathbf{.}\mathbf{ }d=\frac{1}{3}$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathrm{d}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cho a, b, c, d, e, f là các số thực thỏa mãn 

$\left\{\begin{array}{l}{(d-1)}^2+{\left(e-2\right)}^2+{\left(f-3\right)}^2=1\\ {\left(a+3\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2+c^2=9\end{array}\right.$

Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=\sqrt{{\left(a-d\right)}^2+{\left(b-e\right)}^2+{\left(c-f\right)}^2}$  lần lượt là M, m

Khi đó, M - m bằng:

A. 10

B. $\sqrt{10}$

C. 8

D. 2$\sqrt{2}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 0; 0); B (0; 3; 0); C (0; 0 ;4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH.

$\mathbf{A}\mathbf{.}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=4\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=3\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-2\mathrm{t}\end{array}\right.$

$\mathit{B}\mathbf{.} \left\{\begin{array}{c}x=3t\\ y=4t\\ z=2t\end{array}\right.$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=6\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3\mathrm{t}\end{array}\right.$

$\mathbf{D}. \left\{\begin{array}{c}x=4t\\ y=3t\\ z=2t\end{array}\right.$

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1; 2; 3), B (3; 4; 4), C (2; 6; 6) và I (a; b; c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính a + b + c.

A. 63/5

B. 31/3

C. 46/5

D. 10

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A (1; 1; 1), B (0; 1; 2), C (-2; 1; 4) và mặt phẳng (P): x - y + z + 2 = 0. Tìm điểm N ∈ (P) sao cho S= NA² + NB² + NC² đạt giá trị nhỏ nhất.

$\mathbf{A}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathrm{N}\left(-\frac{4}{3};2;\frac{4}{3}\right)$

B. N (-2; 0; 1)

$\mathbf{C}\mathbf{.} \mathrm{N}\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{4}\right)$

D. N (-1; 2; 1)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (3;2;1), B (-2;3;6). Điểm M (x_M; y_M; z_M) thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm giá trị của biểu thức T = x_M + y_M + z_M khi $\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|$  nhỏ nhất.

A. -7/2

B. 7/2

C. 2

D. -2