Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), mặt phẳng (α): x-y+z-4=0 và mặt cầu (S): (x-3)²+ (y-1)²+ (z-2)²=16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x'Ox là:

$\mathbf{A}\mathbf{.} \mathrm{M}\left(-\frac{1}{2};0;0\right)$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \mathrm{M}\left(-\frac{1}{3};0;0\right)$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }M\left(1;0;0\right)$

$\mathbf{D}\mathbf{.} M\left(\frac{1}{3};0;0\right)$

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{2}$  và $d\text{'}:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ . Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với đường thẳng d' một góc lớn nhất là:

A. x-z+1=0. 

B. x-4y+z-7=0

C. 3x-2y-2z-1=0. 

D. -x+4y-z-7=0.

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; -1; 1) và hai đường thẳng $∆:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-1} , ∆\text{'}: \frac{x}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{1}$.

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): (x-3)²+ (y-1)²+z² = 4 và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1+t , t\in \mathrm{ℝ}\\ z=-t\end{array}\right.$ . Mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:

A. 3x-2y-4z-8=0

B. y+z+1=0 

C. x-2y-3=0 

D. x+3y+5z+2=0

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm M (0;-1;2), N (-1; 1; 3). Một mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K (0;0;2) đến mặt phẳng (P) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến  của mặt phẳng (P).

$\mathbf{A}. \overrightarrow{n}=\left(1;-1;1\right)$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \overrightarrow{n}=\left(1;1;-1\right)$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \overrightarrow{n}=\left(2;-1;1\right)$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét đường thẳng Δ đi qua điểm A (0;0;1) và vuông góc với mặt phẳng Ozx. Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B (0; 4; 0) tới điểm C trong đó C là điểm cách đều đường thẳng Δ và trục Ox

A. 1/2

B. $3\sqrt{2}$

C. $\sqrt{6}$

D. $\sqrt{65}/2$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + z – 4 = 0 và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; -2; -1), B (-2,-4,3), C (1;3;-1) và mặt phẳng (P): x + y -2z – 3 = 0. Tìm điểm M ∈ (P) sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất.

$\mathbf{A}. M\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)$

$\mathbf{B}. M\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2};1\right)$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }M\left(2;2;-4\right)$

$\mathbf{D}. M\left(-2;-2;4\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-5}$và $d\text{'}:\frac{x+1}{3}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-4}{-1}$

Trong không gian Oxyz, cho tám điểm A (-2;-2;0), B (3;-2;0), C (3;3;0), D (-2;3;0), M(-2;-2;5), N(3;3;5), P(3;-2;5), Q(-2;3;5) Hình đa diện tạo bởi tám điểm đã cho có bao nhiêu mặt đối xứng?

A. 3 

B. 9 

C. 8 

D. 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=1$ .  Một phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục hoành và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

A. 4y + 3z = 0

B. 4y + 3z + 1 = 0

C. 4y - 3z + 1 = 0

D. 4y - 3z = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B (m; 0; 0), D (0; m; 0), A’ (0; 0; n) với m, n > 0 và m + n = 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC’. Khi đó thể tích tứ diện BDA’M đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. 245/108

B. 9/4

C. 64/27

D. 75/32

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $∆:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}$  và hai điểm A(1; 2; -1); B (3; -1; -5). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng Δ sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là:

$\mathbf{A}. \frac{x-3}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+5}{-1}$

$\mathbf{B}. \frac{x}{-1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{4}$

$\mathbf{C}. \frac{x+2}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$

D. Tất cả sai

Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn. Gọi S₁ là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S₂ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số S₁/S₂ bằng:

A. 1. 

B. 1, 2. 

C. 2. 

D. 1, 5.

Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;1;2), B (-1; 3; -9). Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho$△ABM$ vuông tại M.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau 

$d_1:\left\{\begin{array}{c}x=4-2t\\ y=t\\ z=3\end{array}, d_2:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=t\text{'}\\ z=-t\text{'}\end{array}\right.\right.$

Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (S): x + 2y – 2z + 2018 = 0 và (Q): x + my (m -1)z + 2017 = 0. Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm H nào dưới đây nằm trong mặt phẳng (Q)?

A. H (-2017; 1; 1)

B. H (2017; -1; 1)

C. H (-2017; 0; 0)

D. H (0; -2017; 0)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng $d: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}$  và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): 2x - z - 4 = 0, (Q): x – 2y – 2 = 0

$\mathbf{A}\mathbf{.} \left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=5$

$\mathbf{B}. \left(S\right) : {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\sqrt{5}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=5$

$\mathbf{D}. \left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=3$

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một và AB = 3cm, AC = 6cm, AD = 4cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích khối đa diện AMNP.

A. $3a^3$

B.$12a^3$

C. $a^3$

D. $2a^3$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ΔABC biết A(2;0;0), B(0;2;0), C(1;1;3). H(x₀;y₀;z₀) là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó x₀+y₀+z₀ bằng:

A. 38/9

B. 34/11

C. 30/11

D. 11/34

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM là:

$\mathbf{A}. a\sqrt{\frac{15}{62}}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} a\sqrt{\frac{30}{31}}$

$\mathbf{C}. a\sqrt{\frac{15}{68}}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \mathrm{a}\sqrt{\frac{15}{17}}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).

A. 3x+2y+z+14=0 

B. 2x+y+3z+9=0 

C. 3x+2y+z-14=0 

D. 2x+y+z-9=0.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3). Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).

A. I =$2\sqrt{13}$

B. I =$2\sqrt{41}$

C. I= $2\sqrt{26}$

D. I= $2\sqrt{11}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-y+z-10 = 0 và đường thẳng . Đường thẳng Δ cắt (P) và d lần lượt tại M và N sao cho A(1;3;2) là trung điểm MN. Tính độ dài đoạn MN.

$\mathbf{A}. MN=4\sqrt{33}$

$\mathbf{B}\mathbf{.}\mathbf{ }MN=2\sqrt{26,5}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} MN=4\sqrt{16,5}$

$\mathbf{D}. MN=2\sqrt{33}$

Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng:

$$\begin{gathered} d_1:\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+1}{1} , d_2:\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{1}, \\ {d}_3:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1} , d_4:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1} \end{gathered}$$

Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

A. 0. 

B. 2. 

C. Vô số. 

D. 1.

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-2; 3). Gọi (S) là mặt cầu chứa A có tâm I thuộc tia Ox và bán kính bằng 7. Phương trình mặt cầu (S) là:

$\mathbf{A}.{\left(x+5\right)}^2+y^2+z^2=49$

$\mathbf{B}\mathbf{.} {\left(x+7\right)}^2+y^2+z^2=49$

$\mathbf{C}. {\left(x-3\right)}^2+y^2+z^2=49$

$\mathbf{D}. {\left(x-7\right)}^2+y^2+z^2=49$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  và điểm M(2; -1; 0). Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mp (Oxy) tại điểm M. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu thỏa mãn?

A. 2.  

B. 1. 

C. 0. 

D. Vô số.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2; -3; 2), B (3; 5; 4). Tìm toạ độ điểm M trên trục Oz sao cho $M{A}^2+M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M (0; 0; 49).

B. M (0; 0; 67)

C. M (0; 0 ;3)

D. M (0; 0; 0)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O và điểm I (0; 1; 1). Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đường thẳng Δ một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi S.

A. 36π

B. $36\sqrt{2}\mathrm{\pi }$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3) và mặt phẳng (P): 2x + y - 4z + 1 = 0, đường thẳng d đi qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

$\mathbf{A}\mathbf{.} \left\{\begin{array}{c}x=1+5t\\ y=2-6t\\ z=3+t\end{array}\right.$

$\mathbf{B}. \left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}\right.$

$\mathbf{C}. \left\{\begin{array}{c}x=1+3t\\ y=2+2t\\ z=3+t\end{array}\right.$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \left\{\begin{array}{c}x=1-t\\ y=2+6t\\ z=3+t\end{array}\right.$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC =  a$\sqrt{3}$,SA = a và SA vuông góc với đáy ABCD. Tính sinα, với α là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC)

$\mathbf{A}. \sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{8}$

$\mathbf{B}. \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathbf{C}. \sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{5}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (2; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + my + (2m + 1)z – m – 2 = 0, m là tham số. Gọi H (a; b; c) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên (P). Tính a + b khi khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất?

A.   a + b = -1/2

B. a + b = 2

C. a + b = 0 

D. a + b = 3/2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=16$  và điểm A (1; 2; 3). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

A. 10π

B. 38π

C. 33π

D. 36π

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2 ; 1 ; 0) và đường thẳng $∆:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ . Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M, cắt và vuông góc với Δ là:

$A. d:\left\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1-4t\\ z=-2t\end{array}\right.$

$\mathbf{B}. d:\left\{\begin{array}{c}x=2-t\\ y=1+t\\ z=t\end{array}\right.$

$\mathbf{C}\mathbf{.} d:\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-1-4t\\ z=2t\end{array}\right.$

$\mathbf{D}. d:\left\{\begin{array}{c}x=2+2t\\ y=1+t\\ z=-t\end{array}\right.$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 2; 3), B (2; 1; 0), C (4; 3; -2), D (3; 4; 1), E (1; 1; -1). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?

A. 1 

B. 4  

C. 5 

D. Không tồn tại.

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A (1; 0; -1), B (2; 3; -1), C (-2; 1; 1). Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là:

$\mathbf{A}\mathbf{.} \frac{x}{3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{5}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}-2}{1}=\frac{\mathrm{z}}{5}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{2}$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-5}{5}$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (0; 0; -2) và đường thẳng $∆:\frac{x+2}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+3}{2}$ . Phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8 là:

$\mathbf{A}\mathbf{.} \left(S\right):x^2+y^2+{\left(z+2\right)}^2=16$

$\mathbf{B}. \left(S\right):x^2+y^2+{\left(z+2\right)}^2=25$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\left(S\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=16$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\left(S\right): {\left(x+2\right)}^2+y^2+z^2=25$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; 0; 0), N (1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua M, N cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B (0; b; 0), C (0; 0; c) (b, c > 0). Hệ thức nào dưới đây là đúng?

A. bc = 2 (b+c)

B.$bc=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

C. bc = b + c

D. bc = b - c

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (2; -3; 2), B (3; 5; 4). Tìm toạ độ điểm M trên trục ?z sao cho MA² + MB² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M (0; 0; 49) 

B. M (0; 0; 67)

C. M (0; 0 ;3)

D. M (0; 0; 0)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ x – z – 3 = 0 và điểm M (1; 1; 1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz. Gọi B là hình chiếu của A lên (α). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

A.$6\sqrt{3}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \frac{3\sqrt{3}}{12}$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{3\sqrt{123}}{2}$

D.$3\sqrt{3}$