Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D', gọi M và N lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD và DCC'D'. Mặt phẳng (A'MN) chia khối lập phương trình hai phần có thể tích là V₁ và V₂ (V₁ < V₂). Tính tỷ số V₂/V₁

A. 5/2

B. 5/3

C. 3/2

D. 2

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 5x+my+4z+n=0 đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 3x-7y+z-3=0 và (β): x-9y-2z+5=0. Tính m+n.

A. 6. 

B. -16. 

C. -3. 

D. -4.

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A (1; 1; -1), B (2; 3; 1), C (5; 5; 1). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt mặt phẳng (Oxy) tại M (a; b; 0). Tính 3b-a.

A. 6.

B. 5. 

C. 3. 

D. 0.

Trong không gian Oxyz cho A (1;2;-1), B (3;1;-2), C (2;3;-3) và mặt phẳng (P): x-2y+2z-3=0. M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức MA²+MB²+MC² có giá trị nhỏ nhất. Xác định a+b+c.

A. -3

B. -2

C. 2

D. 3

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1;0;0), B (0;0;2) và mặt cầu (S): x²+y²+z²-2x-2y+1=0. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chứa hai điểm A, B và tiếp xúc với (S).

A.3. 

B. 0 

C. 1 

D. 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M (2;2; -3) và N (-4; 2; 1). Gọi Δ là đường thẳng đi qua M, nhận vecto  làm vectơ chỉ phương và song song với mặt phẳng (P): 2x+y+z=0 sao cho khoảng cách từ N đến Δ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết |a|, |b| là hai số nguyên tố cùng nhau. Khi đó |a| + |b| + |c| bằng:

A. 15

B. 13

C. 16

D. 14

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)²+ (y-2)²+ (z-3)²=9 và đường thẳng $∆:\frac{x-6}{-3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{2}$. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (4;3;4) song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

A.x-2y+2z-1=0. 

B.2x+2y+z-18=0.

C.2x-y-2z-10=0. 

D.2x+y+2z-19=0.

Trong không gian (Oxy) cho tam giác ABC có A (2;3;3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{-1}$ , phương trình đường phân giác trong góc C là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-2}{-1}$ . Biết rằng $\overrightarrow{u}=\left(m;n;-1\right)$  là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB. Tính giá trị biểu thức T=m²+n².

A. T=1 

B. T=5 

C. T=2 

D. T=10

Trong không gian Oxyz cho điểm M (2;1;5). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC. Tính khoảng cách từ điểm I (1;2;3) đến mặt phẳng (P)

$\mathbf{A}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{17\sqrt{30}}{30}$

$\mathbf{B}. \frac{13\sqrt{30}}{30}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \frac{19\sqrt{30}}{30}$

$\mathbf{D}\mathbf{.}\mathbf{ }\frac{11\sqrt{30}}{30}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết điểm A (1; 2; 3), đường trung tuyến BM và đường cao CH có phương trình tương ứng là $\left\{\begin{array}{c}x=5t\\ y=0\\ z=1+4t\end{array}\right.$  và $\frac{x-4}{16}=\frac{y+2}{-13}=\frac{z-3}{5}$ . Viết phương trình đường phân giác góc A.

$\mathbf{A}\mathbf{.} \frac{x-1}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{10}$

$\mathbf{B}\mathbf{.}\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{13}=\frac{z-3}{5}$

$\mathbf{C}.\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-1}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-11}=\frac{z-3}{-5}$

Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD sao cho MA=MB, NB=2NC, PC=2PD. Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần. Gọi T là tỉ số thể tích của phần nhỏ chia phần lớn. Giá trị của T bằng?

A. 13/25

B. 25/43

C. 19/26

D. 26/45

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;2;3), B (0;4;5). Gọi M là điểm sao cho MA=2MB. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): 2x-2y-z+6=0 đạt giá trị nhỏ nhất xấp xỉ là bao nhiêu?

A.1,72 

B.1,47 

C.1,64 

D.1,59

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB cân tại S. Góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy bằng $60°$, góc giữa SA và mặt phẳng đáy bằng 45⁰. Biết thể tích khối chóp S. ABCD bằng $\frac{8a^3\sqrt{3}}{3}$ . Chiều cao của hình chóp S. ABCD bằng:

A.$a\sqrt{3}$

B.$a\sqrt{6}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \frac{a\sqrt{2}}{3}$

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (2;3;3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{-1}$ , phương trình đường phân giác trong của góc C là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-2}{-1}$ . Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là:

$\mathbf{A}.\overrightarrow{u}=\left(2;1;-1\right)$

$\mathbf{B}.\overrightarrow{u}=\left(1;1;0\right)$

$\mathbf{C}. \overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \overrightarrow{u}=\left(1;2;1\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), mặt phẳng (α): x-y+z-4=0 và mặt cầu (S): (x-3)²+ (y-1)²+ (z-2)²=16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x'Ox là:

$\mathbf{A}\mathbf{.} \mathrm{M}\left(-\frac{1}{2};0;0\right)$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \mathrm{M}\left(-\frac{1}{3};0;0\right)$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }M\left(1;0;0\right)$

$\mathbf{D}\mathbf{.} M\left(\frac{1}{3};0;0\right)$

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{2}$  và $d\text{'}:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ . Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với đường thẳng d' một góc lớn nhất là:

A. x-z+1=0. 

B. x-4y+z-7=0

C. 3x-2y-2z-1=0. 

D. -x+4y-z-7=0.

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; -1; 1) và hai đường thẳng $∆:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-1} , ∆\text{'}: \frac{x}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{1}$.

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): (x-3)²+ (y-1)²+z² = 4 và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1+t , t\in \mathrm{ℝ}\\ z=-t\end{array}\right.$ . Mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:

A. 3x-2y-4z-8=0

B. y+z+1=0 

C. x-2y-3=0 

D. x+3y+5z+2=0

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm M (0;-1;2), N (-1; 1; 3). Một mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K (0;0;2) đến mặt phẳng (P) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến  của mặt phẳng (P).

$\mathbf{A}. \overrightarrow{n}=\left(1;-1;1\right)$

$\mathbf{B}\mathbf{.} \overrightarrow{n}=\left(1;1;-1\right)$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \overrightarrow{n}=\left(2;-1;1\right)$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét đường thẳng Δ đi qua điểm A (0;0;1) và vuông góc với mặt phẳng Ozx. Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B (0; 4; 0) tới điểm C trong đó C là điểm cách đều đường thẳng Δ và trục Ox

A. 1/2

B. $3\sqrt{2}$

C. $\sqrt{6}$

D. $\sqrt{65}/2$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + z – 4 = 0 và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; -2; -1), B (-2,-4,3), C (1;3;-1) và mặt phẳng (P): x + y -2z – 3 = 0. Tìm điểm M ∈ (P) sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất.

$\mathbf{A}. M\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)$

$\mathbf{B}. M\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2};1\right)$

$\mathbf{C}\mathbf{.}\mathbf{ }M\left(2;2;-4\right)$

$\mathbf{D}. M\left(-2;-2;4\right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-5}$và $d\text{'}:\frac{x+1}{3}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-4}{-1}$

Trong không gian Oxyz, cho tám điểm A (-2;-2;0), B (3;-2;0), C (3;3;0), D (-2;3;0), M(-2;-2;5), N(3;3;5), P(3;-2;5), Q(-2;3;5) Hình đa diện tạo bởi tám điểm đã cho có bao nhiêu mặt đối xứng?

A. 3 

B. 9 

C. 8 

D. 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=1$ .  Một phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục hoành và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:

A. 4y + 3z = 0

B. 4y + 3z + 1 = 0

C. 4y - 3z + 1 = 0

D. 4y - 3z = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B (m; 0; 0), D (0; m; 0), A’ (0; 0; n) với m, n > 0 và m + n = 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC’. Khi đó thể tích tứ diện BDA’M đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. 245/108

B. 9/4

C. 64/27

D. 75/32

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $∆:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}$  và hai điểm A(1; 2; -1); B (3; -1; -5). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng Δ sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là:

$\mathbf{A}. \frac{x-3}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+5}{-1}$

$\mathbf{B}. \frac{x}{-1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{4}$

$\mathbf{C}. \frac{x+2}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$

D. Tất cả sai

Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn. Gọi S₁ là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S₂ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số S₁/S₂ bằng:

A. 1. 

B. 1, 2. 

C. 2. 

D. 1, 5.

Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;1;2), B (-1; 3; -9). Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho$△ABM$ vuông tại M.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau 

$d_1:\left\{\begin{array}{c}x=4-2t\\ y=t\\ z=3\end{array}, d_2:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=t\text{'}\\ z=-t\text{'}\end{array}\right.\right.$

Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (S): x + 2y – 2z + 2018 = 0 và (Q): x + my (m -1)z + 2017 = 0. Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm H nào dưới đây nằm trong mặt phẳng (Q)?

A. H (-2017; 1; 1)

B. H (2017; -1; 1)

C. H (-2017; 0; 0)

D. H (0; -2017; 0)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng $d: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}$  và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): 2x - z - 4 = 0, (Q): x – 2y – 2 = 0

$\mathbf{A}\mathbf{.} \left(S\right): {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=5$

$\mathbf{B}. \left(S\right) : {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\sqrt{5}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} \left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=5$

$\mathbf{D}. \left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=3$

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một và AB = 3cm, AC = 6cm, AD = 4cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích khối đa diện AMNP.

A. $3a^3$

B.$12a^3$

C. $a^3$

D. $2a^3$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ΔABC biết A(2;0;0), B(0;2;0), C(1;1;3). H(x₀;y₀;z₀) là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó x₀+y₀+z₀ bằng:

A. 38/9

B. 34/11

C. 30/11

D. 11/34

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM là:

$\mathbf{A}. a\sqrt{\frac{15}{62}}$

$\mathbf{B}\mathbf{.} a\sqrt{\frac{30}{31}}$

$\mathbf{C}. a\sqrt{\frac{15}{68}}$

$\mathbf{D}\mathbf{.} \mathrm{a}\sqrt{\frac{15}{17}}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).

A. 3x+2y+z+14=0 

B. 2x+y+3z+9=0 

C. 3x+2y+z-14=0 

D. 2x+y+z-9=0.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3). Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).

A. I =$2\sqrt{13}$

B. I =$2\sqrt{41}$

C. I= $2\sqrt{26}$

D. I= $2\sqrt{11}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-y+z-10 = 0 và đường thẳng . Đường thẳng Δ cắt (P) và d lần lượt tại M và N sao cho A(1;3;2) là trung điểm MN. Tính độ dài đoạn MN.

$\mathbf{A}. MN=4\sqrt{33}$

$\mathbf{B}\mathbf{.}\mathbf{ }MN=2\sqrt{26,5}$

$\mathbf{C}\mathbf{.} MN=4\sqrt{16,5}$

$\mathbf{D}. MN=2\sqrt{33}$

Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng:

$$\begin{gathered} d_1:\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+1}{1} , d_2:\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{1}, \\ {d}_3:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1} , d_4:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1} \end{gathered}$$

Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

A. 0. 

B. 2. 

C. Vô số. 

D. 1.

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-2; 3). Gọi (S) là mặt cầu chứa A có tâm I thuộc tia Ox và bán kính bằng 7. Phương trình mặt cầu (S) là:

$\mathbf{A}.{\left(x+5\right)}^2+y^2+z^2=49$

$\mathbf{B}\mathbf{.} {\left(x+7\right)}^2+y^2+z^2=49$

$\mathbf{C}. {\left(x-3\right)}^2+y^2+z^2=49$

$\mathbf{D}. {\left(x-7\right)}^2+y^2+z^2=49$