1. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn;

2. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn.

1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=30 cm, AC=40 cm. Tính độ dài đường cao AH và số đo góc B (làm tròn đến độ).

Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi xe tải xuất phát một thời gian thì một xe khách cũng xuất phát từ A với vận tốc 50 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp xe tải tại B. Nhưng sau khi đi được một nửa quãng đường AB, xe khách tăng vận tốc lên 60 km/h nên đến B sớm hơn xe tải 16 phút. Tính quãng đường AB.

Hai công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường. Nếu mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu?

Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, người ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất ra những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu là 500 triệu đồng. Chi phí sản để sản xuất ra một chiếc xe lăn là 2.500.000 đồng. Gía bán ra mỗi chiếc là 3.000.000 đồng.

a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra được x chiếc xe lăn (gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất) và hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra x chiếc xe lăn.

Một cái xô bằng I - nốc có dạng hình nón cụt (độ dày của thành xô nhỏ không đáng kể) đựng hóa chất được đặt vào bên trong một cái thùng hình trụ, có miệng xô trùng khít với miệng thùng. Đáy xô dát với đáy thùng và có bán kính bằng $\frac{1}{2}$ bán kính đáy thùng.
Biết rằng, thùng có nhiều cao bằng đường kính đáy và diện tích xung quanh bằng $8\mathrm{\pi } \left({\mathrm{dm}}^2\right)$. Hỏi khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu lít? (cho p $\approx$ 3,14 và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác nhau tham dự. Gỉa sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là số nguyên dương lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương.

Tổng kết học kì II, trường trung học cơ sở N có 60 học sinh không đạt học sinh giỏi, trong đó có 6 em từng đạt học sinh giỏi trong học kì I; số học sinh giỏi học kì II bằng $\frac{40}{37}$ số học sinh giỏi học kì I và có 8% số học sinh của trường không đạt học sinh giỏi học kì I nhưng đạt học sinh giỏi học kì II. Tìm số học sinh giỏi học kì II của trường biết rằng số học sinh của trường không thay đổi trong suốt năm học.

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm trên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180 km, khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 10km/h. Tính vận tốc của mỗi xe.

b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.

Gọi ba bài toán là A,B,C.

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B.

Có hai vòi nước A, B cùng cung cấp cho một hồ cạn nước và vòi C (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới cây. Đúng 6 giờ vòi A và B được mở; đến 7 giờ vòi C được mở; đến 9 giờ thì sống vòi B và vòi C; đến 10 giờ 45 phút thì hồ đầy nước. Người ta thấy rằng nếu đóng vòi B ngay từ đầu thì phải đến đúng 13 giờ hồ mới đầy. Biết lưu lượng vòi B là trung bình cộng của vòi A và vòi C, hỏi một mình vòi C tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100m. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh vườn giảm xuống 2. Tính diện tích của mảnh vườn.

Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó tổ đã hoàn thành sớm công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Quãng đường từ A đến B dài 90km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về  A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5h. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.

Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy?

b) Khẳng định trên còn đúng không nếu các đội đã thi đấu 5 trận?

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: