Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình sau: $F\left(M\left(x;y\right)\right)=M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$  với $\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=-x\\ y\text{'}=y+1\end{array}\right.$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chứng tỏ quy tắc đặt tương ứng điểm  $M\left(x;y\right)$ với điểm $M\text{'}\left(y;-x\right)$  là một phép biến hình.

Đặt $S=C_{2018}^0-C_{2018}^1+C_{2018}^2-C_{2018}^3+\mathrm{...}+C_{2018}^{2018}$ . Khi đó: 

Hệ số của số hạng chứa $x^{26}$  trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left(\frac{1}{x^4}+x^7\right)}^n$ , biết $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+\mathrm{...}+C_{2n+1}^n=2^{20}-1$ là

Cho khai triển ${\left(x-2\right)}^{80}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_{80}{x}^{80}$ .

Tổng $S=1.a_1+2.a_2+3.a_3+\mathrm{...}+80.a_{80}$  là

Cho hai dãy số $\left(u_n\right), \left(v_n\right)$ được xác định như sau $u_1=\mathrm{3,}{v}_1=2 \mathrm{và} \left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=u_n^2+2v_n^2\\ v_{n=1}=2u_n.v_n\end{array}\right.$ với $\mathrm{n}\ge 2.$Công thức tổng quát của hai dãy $\left(u_n\right) và \left(v_n\right)$ là

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $3^n{C}_n^0-3^{n-1}{C}_n^1+3^{n-2}{C}_n^2-\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n{C}_n^n=2048$ . Hệ số của $x^{10}$trong khai triển ${\left(x+2\right)}^n$  là

Giá trị của tổng $S=C_{2017}^0+\frac{1}{2}{C}_{2017}^1+\frac{1}{3}{C}_{2017}^2+\mathrm{...}+\frac{1}{2018}{C}_{2017}^{2017}$  bằng 

Cho khai triển ${\left(1+x+x^2\right)}^{1009}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_{2018}{x}^{2018}.$  Khi đó $a_0+a_1+a_2+\mathrm{...}+a_{2018}$   bằng

Cho $A=C_n^0+5C_n^1+5^2{C}_n^2+\mathrm{...}+5^n{C}_n^n$  . Khi đó

Cho $S=C_{15}^8+C_{15}^9+C_{15}^{10}+\mathrm{...}+C_{15}^{15}$ . Tính S.

Tính tổng $S=C_{10}^0+2.C_{10}^1+2^2.C_{10}^2+\mathrm{...}+2^{10}.C_{10}^{10}$ . 

Đặt $S=C_{2017}^1+C_{2017}^2+\mathrm{...}+C_{2017}^{2017}$ . Khi đó giá trị S là 

Cho khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left(2-3x\right)}^{2n}$ , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+C_{2n+1}^5+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}=1024$ . Tìm hệ số của $x^7$  trong khai triển trên.

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$ với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

A. Chỉ có bước 2 đúng.

Số hạng không chứa x trong khai triển của ${\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{x^4}\right)}^n$ với $x>0$  nếu biết rằng $C_n^2-C_n^1=44$  là 

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $5C_n^{n-1}=C_n^3$ . Số hạng chứa $x^5$  trong khai triển nhị thức Niu-tơn $P={\left(\frac{n{x}^2}{14}-\frac{1}{x}\right)}^n$  với $x\ne 0$  là

A. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A.

B. Mọi số nguyên dương đều thuộc A.

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $A_n^2=C_n^2+C_n^1+4n+6$ . Hệ số của số hạng chứa $x^9$  của khai triển biểu thức $P\left(x\right)={\left(x^2+\frac{3}{x}\right)}^n,x\ne 0$  bằng 

Số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^n$  biết $A_n^2-C_n^2=105$  là

Xét khai triển ${\left(1+3x\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_n{x}^n$  với $n\in {\mathbb{N}}^{*},n\ge 3$ . Giả sử $a_1=27$ , khi đó $a_2$  bằng

Biết rằng hệ số của $x^{n-2}$  trong khai triển ${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^n$  bằng 31. Tìm n.

Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của $\left(1+ax\right){\left(1+x\right)}^4$  có chứa số hạng $22x^3$ .

Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển  ${\left(1+x\right)}^n$ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là $\frac{7}{15}$ .

Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{12}$  ta có hệ số của một số hạng chứa $x^m$  bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.

Khai triển ${\left(\sqrt{5}-\sqrt[4]{7}\right)}^{124}$ . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

Hệ số của số hạng chứa $x^4$  trong khai triển $P\left(x\right)={\left(3x^2+x+1\right)}^{10}$  là

Nếu hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^4-2x^2+1}{x+1}\text{ khi }x\ge -1\\ a{x}^2+ax+b\text{ khi }x<-1\end{array}\right.$  có đạo hàm trên R thì giá trị $a+b$  là

D. -4

Hệ số của $x^5$ trong khai triển $x{\left(1-2x\right)}^5+x^2{\left(1+3x\right)}^{10}$  là

Trong khai triển biểu thức ${\left(x-y\right)}^{20}$ , hệ số của số hạng chứa $x^{12}{y}^8$   là

Cho hàm số  $y=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b\text{ khi }x\ge 2\\ x^3-x^2-8x+10\text{ khi }x<2\end{array}\right.,$ biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$ .

Giá trị của ab   bằng

Hệ số của $x^5$  trong triển khai thành đa thức ${\left(2x-3\right)}^8$  là

Giá trị của m để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^4-4}{x-2},\text{ khi }x\ne 2\\ m\text{ khi }x=2\end{array}\right.$  có đạo hàm tại $x=2$  bằng

 Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{x}$  trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$  bằng