Cho hình chóp SABC biết rằng hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là điểm H thỏa mãn điều kiện hai điểm A và H nằm về hai phía so với đường thẳng BC đồng thời ba mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau. Biết rằng tam giác ABC  vuông tại A thỏa mãn điều kiện AB = 3, AC = 4 và khoảng cách từ H tới (SBC) bằng $\frac{12\sqrt{13}}{13}$. Thể tích của khối chóp SABC là

A. V = 8

B. V = 24

C. V = 12

D. V = 4

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x,m\right)=\left|x^2-2x+5\right|+mx$  đạt giá trị lớn nhất bằng

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H trên cạnh BC sao cho $\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{BH}$. Biết cạnh SA hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng $60°$.

A.$\frac{a^3}{12}$

B.$\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

C.$\frac{a^3}{4}$

D.$\frac{a^3\sqrt{7}}{12}$

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AC và $AH=\frac{AC}{4}$. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Thể tích khối tứ diện SMBC là

A.$\frac{a^3\sqrt{14}}{2}$

B.$\frac{a^3\sqrt{14}}{3}$

C.$\frac{a^3\sqrt{14}}{6}$

D.$\frac{a^3\sqrt{14}}{12}$

Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|x^2+2x+m-4\right|$  trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\sqrt{4-x^2}+x-\frac{1}{2}\right|+m$  bằng 18.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\left|\frac{1}{4}{x}^4-14x^2+48x+m-30\right|$  trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\frac{x^2+mx+m}{x+1}\right|$ trên đoạn [1; 2] bằng 2.
Số phần tử của tập S là

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có AC = a và BC = 2a. Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc $60°$. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Thể tích khối chóp SABC là

A.$\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B.$\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

C.$\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

D.$\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AO, góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $60°$. Thể tích khối chóp SABCD là

A.$\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}$

B.$\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C.$\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

D.$\frac{a^3\sqrt{3}}{36}$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|x^3-9x^2+24x-68\right|$  trên đoạn [-1; 4] bằng

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm số $y=\left|x^2-2x-2\right|$  trên đoạn [-1; 1] lần lượt là a, b thì giá trị của $a+b$  bằng

Biết hàm số $y=x^3+3m{x}^2+3\left(2m-1\right)x+1$  (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là

Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{x+m^2+m}{x-1}$  trên đoạn [2; 3]. Tất cả các giá trị thực của tham số m để $A+B=\frac{13}{2}$   là

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh $AB=a\sqrt{3}$, góc $\widehat{ACB}=60°$, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi N là trung điểm của AC, góc giữa SN và mặt phẳng đáy là $30°$. Thể tích khối chóp SABC là

A.$\frac{a^3}{6}$

B.$\frac{a^3}{18}$

C.$\frac{a^3}{9}$

D.$\frac{a^3}{12}$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2x^3-3x^2+m$ trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 3HA, góc giữa SB với mặt phẳng đáy bằng $60°$.Thể tích khối chóp SABCD là

A.$\frac{a^3\sqrt{15}}{6}$

B.$\frac{2a^3\sqrt{15}}{3}$

C.$\frac{a^3\sqrt{15}}{9}$

D.$\frac{a^3\sqrt{15}}{3}$

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=x+\sqrt{4-x^2}$

Giá trị của biểu thức$P=M+m$  bằng

Cho hình chóp SABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh SA tạo với mặt phẳng đáy một góc $60°$. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AG. Thể tích của khối chóp SABC là

A.$2a^3\sqrt{3}$

B.$a^3\sqrt{3}$

C.$\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D.$\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$

Cho $A\left(0;2;-2\right),B\left(-3;1;-1\right),C\left(4;3;0\right),D\left(1;2;m\right).$ Tìm m để 4 điểm A, B, C đồng phẳng.

A. $m=-5$. 

B. $m=5$. 

C. $m=-1$. 

D. $m=1$.

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x-3\right)e^x\text{d}x=a+be$. Tính a - b

A. 1. 

B. -7. 

C. -1. 

D. 7.

Cho $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}{\sin }^{n}x.\cos x\text{ d}x=\frac{1}{160}$ (với $n\in \mathbb{N}*$). Tìm

A. 3. 

B. 6. 

C. 5. 

D. 4.

Cho $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}\text{d}x=\frac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3$ với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng

A. 1. 

B. 2. 

C. 7. 

D. 9.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(f\left(x\right)+3x^2\right)\text{d}x=17$. Tính $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

A. -5

B. -7. 

C. -9. 

D. -10.

Cho $\underset{-1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=2$, $\underset{-1}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=-4$. Tính $\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(y\right)\text{d}y$.

A. $I=-3$. 

B. $I=-5$. 

C. $I=-2$. 

D. $I=-6$

Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x^2+x}\text{d}x$ bằng

A. $\ln \frac{2}{3}$. 

B. ln 6. 

C. $\ln \frac{4}{3}$. 

D. ln 3.

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{3{\ln }^{2}x}{x}$ là

A. ${\ln }^{3}x+\ln x+C$. 

B. ${\ln }^{3}x+C$. 

C. ${\ln }^{3}x+x+C$. 

D. $\ln \left(\ln x\right)+C$.

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x(x+\frac{1}{x})$ là

A. $\frac{x^2}{2}(\frac{x^2}{2}+\ln x)+C$. 

B. $\frac{x^3}{3}+x+C$. 

C. $\frac{x^2}{6}\left(\frac{x^3+x}{\ln x}\right)+C$. 

D. $x+C$.

Biết hàm số $y=f\left(x\right)$ có $f^{\text{'}}\left(x\right)=6x^2+4x-2m-1$, $f\left(1\right)=2$ và đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3. Hàm số f(x) là

A. $2x^3+2x^2+x-3$. 

B. $2x^3+2x^2-3x-3$. 

C. $2x^3-2x^2+x-3$. 

D. $12x+4$.

Cho $\int 4x.{\left(5x-2\right)}^6\text{d}x=A{\left(5x-2\right)}^8+B{\left(5x-2\right)}^7+C$ với $A,B\in \mathbb{Q}$ và $C\in ℝ$. Giá trị của biểu thức là $50A+175B$

A. 9. 

B. 10. 

C. 11. 

D. 12.

Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)={\left(e^x-1\right)}^3$ thỏa mãn $F\left(0\right)=-\frac{1}{6}$ là

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{3}{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{2x}+3e^x-x$. 

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{3}{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{2x}+3e^x-x-2$.

C. $F\left(x\right)=3e^{3x}-6e^{2x}+3e^x$. 

D. $F\left(x\right)=3e^{3x}-6e^{2x}+3e^x-2$.

Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng $\frac{4}{3}$ lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và lượng nước trào ra là $\frac{337\pi }{3}c{m}^3.$ Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2a nằm trong mặt phẳng (P). Gọi I là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho $SI\perp \left(P\right)$ và SI = 2a. Bán kính R mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S có độ dài là

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Đáy ABC nội tiếp trong đường tròn có đường kính AC = 4a. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC nội tiếp hình trụ T. Thể tích khối trụ T bằng

Cho khối cầu (S) tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.

Người ta xếp bảy viên bi là các khối cầu có cùng bán kính R vào một cái lọ hình trụ. Biết rằng các viên bi đều tiếp xúc với hai đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính theo R thể tích lượng nước cần dùng để đổ đầy vào lọ sau khi đã xếp bi.

Một cái cốc hình trụ có bán kính đáy là 2cm, chiều cao 20cm. Trong cốc đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm. Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6cm. Con quạ thông minh mổ những viên bi đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào cốc nước để mực nước dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên đá?

Một cốc nước hình trụ có đường kính đáy bằng 6cm, chiều cao bằng 15cm. Giả sử mức nước trong cốc cao 7cm so với đáy bên trong cốc. Người ta thả viên bi hình cầu có bán kính bằng 2cm vào cốc nước. Hỏi mức nước dâng lên trong cốc là bao nhiêu cm?