Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB=a, $\widehat{BAC}={120}^{\circ }$, $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}={90}^{\circ }$. Gọi $\phi$ là góc giữa SB và (SAC) thỏa mãn $sin\phi =\frac{\sqrt{3}}{8}$, khoảng cách từ S đến mặt đáy nhỏ hơn 2a. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{4}$.

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh a, tam giác ABC vuông tại B, BC=$\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng

A. $\frac{2}{3}$.

Cho hình chóp S.ABC có AB=a, AC=$a\sqrt{3}$, SB>2a và $\widehat{ABC}=\widehat{BAS}=\widehat{BCS}={90}^{\circ }$. Biết sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng $\frac{\sqrt{11}}{11}$. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{2a^3\sqrt{3}}{9}$.

Cho tứ diện ABCD có AB=CD=11m, BC=AD=20m, BD=AC=21m. Thể tích khối chóp tứ diện ABCD bằng

A. $360m^3$.

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho AM=2MA’, NB’=2NB, PC=PC’. Gọi $V_1$, $V_2$ lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABCMNP và A’B’C’MNP. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác ABC, ABD, ACD. Tính thể tích V của khối chóp AMNP.

A. $V=\frac{\sqrt{2}}{162}c{m}^3$.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’ và vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là $V_1$ và $V_2$ với $V_1<V_2$. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

A. $\frac{1}{47}$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A’MN) cắt cạnh BC tại P. Thể tích của khối đa diện MBP.A’B’N là

A. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{24}$.

Gọi $x_0,y_0,z_0$  là ba số thực dương sao cho biểu thức $P=\frac{3}{2x+y+\sqrt{8yz}}-\frac{8}{\sqrt{2(x^2+y^2+z^2)+4xz}+3}-\frac{1}{x+y+z}$

 đạt giá trị nhỏ nhất.

Tổng $x_0+y_0+z_0$   bằng

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A’C’, BB’. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao 3a. Mặt phẳng (P) qua B’ và vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là $V_1$ và $V_2$ với $V_1<V_2$. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

A. $\frac{1}{47}$.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, AA’=c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ bằng

A. $\frac{1}{2}$.

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a, AD=b, SA vuông góc với đáy, SA=2a. Điểm M thuộc đoạn SA, AM=x. Giá trị của x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối có thể tích bằng nhau là

A. $x=\left(2+\sqrt{5}\right)a$.

Người ta ghép 5 khối lập phương cạnh a để được khối hộp chữ thập như hình dưới. Tính diện tích toàn phần của khối hộp chữ thập đó.

A. $S_{tp}=20a^2$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích là V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA sao cho $\frac{IA}{IS}=\frac{2}{3}$. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Khi đó thể tích của phần đa diện không chứa đỉnh S tính thông qua V được kết quả là

A. $\frac{3}{4}$.

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và góc giữa (AB’C’) và mặt phẳng (ABC) bằng ${60}^{\circ }$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua trọng tâm tứ diện AA’B’C’ và song song với mặt phẳng (AB’C’), lần lượt cắt các cạnh AA’, A’B’, A’C’ tại P, Q, R. Thể tích khối đa diện PQRB’C’CAB là

A. $\frac{165a^3\sqrt{3}}{512}$.

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Lấy M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB’, BC’, CA’. Thể tích khối đa diện MNPABC bằng

A. $\frac{1}{2}V$.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng a. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trọng tâm của tam giác SBC, SCA và SAB. Tính thể tích khối ABC.A’B’C’

A. $\frac{5a^3\sqrt{2}}{108}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA $\perp$(ABCD). Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại D lấy điểm S’ thỏa mãn $S^{\text{'}}D=\frac{1}{2}SA$ và S’, S ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD). Gọi $V_1$ là phần thể tích chung của hai khối chóp S.ABCD và S’.ABCD. Gọi $V_2$là thể tích khối chóp S.ABCD. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

A. $\frac{4}{9}$.

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi $G_1,G_2,G_3$ và $G_4$ lần lượt là trọng tâm các mặt ABC, ABD, ACD và BCD. Biết AB = 6a, AC = 9a, AD = 12a. Tính theo a thể tích khối tứ diện $G_1{G}_2{G}_3{G}_4$.

A. $4a^3$.

Một khúc gỗ có dạng với độ dài các cạnh được cho như hình vẽ bên dưới.Thể tích khối đa diện tương ứng là

A. $V=\frac{40}{3}$.

Một khúc gỗ có dạng với độ dài các cạnh được cho như hình vẽ bên. Thể tích khối đa diện tương ứng là

A. V = 24.

Một khúc gỗ có dạng với độ dài các cạnh được cho như hình vẽ bên.

Thể tích khối đa diện tương ứng là

A. V = 570.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tỉ số thể tích của khối tứ diện A’C’BD và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng $48c{m}^3$. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh CC’, BC và B’C’. Tính thể tích của khối chóp A’.MNP.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi $V_1,V_2$lần lượt là thể tích khối tứ diện ACB’D’ và khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$bằng

A. $\frac{1}{3}$.

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng $60c{m}^3$, các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho AM = 2MA’, BN = 3NB’, CP = 4PC’. Thể tích của khối đa diện BC.MNP .

A. $\frac{93}{2}c{m}^3$.

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Trên các cạnh AA’, BB’ lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AA’ = kA’E, BB’ = kB’F. Mặt phẳng (C’EF) chia khối trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp C’.A’B’FE có thể tích $V_1$ và khối đa diện ABCEFC’ có thể tích $V_2$.Biết rằng $\frac{V_1}{V_2}=\frac{2}{7}$. Giá trị k là

A. k = 4.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A’NM) cắt cạnh BC tại P. Thể tích khối đa diện MBP.A’B’N bằng

A. $\frac{7a^3\sqrt{3}}{32}$.

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M là trung điểm cạnh BB’, điểm N thuộc cạnh CC’ sao cho CN=2C’N. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo V.

A. $V_{A.BCNM}=\frac{7V}{12}$.

Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB lần lượt tại các điểm M, N. Đặt $\frac{SM}{SA}=x\mathrm{,0}<x<1$. Tìm x sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.

A. $x=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$.

Cho x, y là các số thực thỏa mãn ${(x-3)}^2+{(y-1)}^2=5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{3y^2+4xy+7x+4y-1}{x+2y+1}$  bằng

Cho khối tứ diện có thể tích V. Gọi V’ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số $\frac{V\text{'}}{V}$.

A. $\frac{V\text{'}}{V}=\frac{2}{3}$.

Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi $G_1,G_2,G_3,G_4$ lần lượt là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD. Tính thể tích V của khối tứ diện $G_1{G}_2{G}_3{G}_4$.

A. $V=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CD và SA. Mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_1$ và $V_2$. Biết rằng $V_1\le V_2$, tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

A. 1.

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AD=b. Cạnh SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh SA sao cho AM=x $\left(0<x<2a\right)$. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng nhau.

A. $x=a\left(4-\sqrt{5}\right)$.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc ${60}^{\circ }$. Gọi M là điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng

A. $\frac{7}{5}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, $\widehat{BAD}=\widehat{ABC=}{90}^0$, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Thể tích khối chóp S.BCNM bằng

A. $\frac{a^3}{6}$.