Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{4}$  và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-2z+6=0$ . Biết $∆$ cắt mặt phẳng $\left(P\right)$  tại $A,M$  thuộc $∆$ sao cho $AM=2\sqrt{3}$ . Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

A. $\sqrt{2}$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left(1;1;2\right),B\left(-2;3;1\right),C\left(3;-1;4\right)$ . Phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=-2-t\\ y=3+t\\ z=1-t\end{array}\right.$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết $A\left(2;1;0\right),B\left(3;0;2\right),C\left(4;3;-4\right)$ . Phương trình đường phân giác trong của góc A là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1+t\\ z=0\end{array}\right.$ .

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm M(3,1,1), nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+y-z-3=0$  và tạo với đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4+3t\\ z=-3-2t\end{array}\right.$  một góc nhỏ nhất thì phương trình của đường thẳng $∆$ là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-t^{\text{'}}\\ z=2t^{\text{'}}\end{array}\right.$ .

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}$  và mặt cầu (S) có phương trình: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$ . Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua $A\left(2;1;3\right)$ , vuông góc với đường thẳng d và cắt $\left(S\right)$  tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng $∆$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;a;b\right)$ . Giá trị của $a+b$  bằng

A. 4.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2+6y+12z+9=0$ . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1+t\\ z=-2+2t\end{array}\right.$ .

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=20$ , mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  có phương trình: $x-2y+2z-1=0$  và đường thẳng $∆$ có phương trình: $\frac{x}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+4}{-3}$ . Viết phương trình đường thẳng ${\Delta }^{\text{'}}$  nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ , vuông góc với đường thẳng $∆$, đồng thời ${\Delta }^{\text{'}}$  cắt mặt cầu (S) theo dây cung có độ dài lớn nhất.

A. ${\Delta }^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=-2\\ z=-4+t\end{array}\right.$ .

Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-z+3=0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$  một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. $\frac{x-1}{-4}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-2}{3}$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1};d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ . Phương trình đường thẳng $∆$ cắt $d_1,d_2$  lần lượt tại A  và B sao cho AB nhỏ nhất là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3-2t\\ z=2-t\end{array}\right.$ .

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2,1,0) và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ . Phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng d là

A. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z}{1}$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1},d_2:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=1+2t\\ z=-1+t\end{array}\right.$  và điểm $A\left(1;2;3\right)$ . Đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với $d_1$  và cắt $d_2$  có phương trình là

A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-1}$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{3}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z+1}{1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-2z-12=0$ . Viết phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (P).

A. $d^{\text{'}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-2}$ .

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):3x+y+z=0$  và đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}{2}$ . Phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ , cắt và vuông góc với đường thẳng $∆$ là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=2-5t\\ z=-1-7t\end{array}\right.$ .

Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-3y+z=0$  và $\left(\beta \right):x+y-z+4=0$ . Phương trình tham số của đường thẳng d là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=2\\ z=2-2t\end{array}\right.$ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2x+y-2z+9=0$  và đường thẳng $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-3}{1}$ .

Phương trình tham số của đường thẳng $∆$ đi qua $A\left(0;-1;4\right)$  vuông góc với d và nằm trong $\left(P\right)$  là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=5t\\ y=-1+t\\ z=4+5t\end{array}\right.$ .

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+2}{3}$ . Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của d?

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2-t\\ z=-2+3t\end{array}\right.$ .

A. $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-7}$ .

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm E(-1,0,2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(3;1;-7\right)$ . Phương trình của đường thẳng d là

A. $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-7}$ .

A. -8.

Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua hai điểm M(-2,1,2), N(3,-1,0) có vectơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow{u}=\left(1;0;2\right)$ .

Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{2}$

A. $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;0\right)$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng

$$\begin{gathered} {\Delta }_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{-1};{\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1} \\ {\Delta }_3:\frac{x}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{1};{\Delta }_4:\frac{x-5}{1}=\frac{y-a}{3}=\frac{z-b}{1} \end{gathered}$$

Biết không tồn tại đường thẳng nào trong không gian mà cắt được đồng thời cả bốn đường thẳng trên. Giá trị của biểu thức $T=a-2b$  bằng

A. -2.

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}$  và hai điểm $A\left(4;-2;4\right),B\left(0;0;-2\right)$ . Gọi d là đường thẳng song song và cách $∆$ một khoảng bằng $\sqrt{5}$ , gần đường thẳng AB nhất. Đường thẳng d cắt mặt phẳng $\left(Oxy\right)$  tại điểm nào dưới đây?

A. $\left(2;1;0\right)$ .

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2,3,3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $d:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{-1}$ , phương trình đường phân giác trong của góc C là $\Delta :\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-2}{-1}$ .

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow{u}\left(2;1;-1\right)$ .

A. $\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6}$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x-y+z-10=0, điểm A(1,3,2) và đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$ .

Tìm phương trình đường thẳng $∆$ cắt $\left(P\right)$  và d lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN.

A. $\frac{x+6}{7}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-3}{-1}$ .

Viết phương trình đường thẳng d qua A(1,2,3) cắt đường thẳng $d_1:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}$  và song song với mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z-2=0$ .

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+t\end{array}\right.$ .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):3x+y-2z=0$  và hai đường thẳng $d_1:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-6}{2}=\frac{z}{1}$  và $d_2:\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+4}{4}$ .

Đường thẳng vuông góc với $\left(P\right)$  cắt cả hai đường thẳng $d_1$  và $d_2$  có phương trình là

A. $\frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-2}$ .

Cho các đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}$  và đường thẳng $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{2}$ . Phương trình đường thẳng $∆$ đi qua $A\left(1;0;2\right)$ , cắt $d_1$  và vuông góc với $d_2$  là

A. $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z-2}{1}$ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y-z-1=0 và đường thẳng $d:\frac{x-4}{-2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{1}$ . Phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P) là

A. $\frac{x}{5}=\frac{y+2}{7}=\frac{z+1}{2}$ .

Trong không gian Oxyz. Cho điểm E(1,1,1), mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=4$  và mặt phẳng $\left(P\right):x-3y+5z-3=0$ . Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong $\left(P\right)$  và cắt $\left(S\right)$  tại hai điểm $A,B$  sao cho $\Delta OAB$  là tam giác đều. Phương trình tham số của $∆$ là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1+t\\ z=1+t\end{array}\right.$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai M(1,2,3), N(3,4,5) và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+3z-14=0$ . Gọi $∆$ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng (P), các điểm H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M,N trên $∆$. Biết rằng khi $MH=NK$  thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=13-2t\\ z=-4+t\end{array}\right.$ .

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2,1,-1), B(-2,3,1) và C(0,-1,3). Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ . Phương trình đường thẳng d là

A. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}$ .