Nửa chu vi gấp chiều rộng là:

8÷2=4 (lần)

Chiều dài gấp chiều rộng là:

4-1=3 (lần)

Hai lần chiều rộng ban đầu là:

(144÷2)+2=74 (m)

Chiều rộng ban đầu là:

74÷2=37 (m)

Chiều dài ban đầu là:

37×3=111 (m)

Diện tích khu vườn ban đầu là:

111×37=4107 (m²)

a/ Để chứng minh BMNP là hình bình hành, ta cần chứng minh hai điều kiện: BM∥NP và BN∥MP.

Vì M là trung điểm của AB, ta có BM=AM. Từ đó, ta thấy BM∥AC do AC là đoạn thẳng nối hai điểm A và C.

Vì MN∥BC (do MN song song với BC), BM∥AC, và BM=AM, ta có:

∠BMN=∠BCA (do cặp góc đồng quy ∠BMN và ∠BCA trên cùng một cạnh song song BM và AC).

Tương tự, ta cũng có:

∠MNB=∠BAC.

Do đó, ta thấy:

∠BMN=∠BCA=∠MNB,

Kết hợp với BM=MN (vì M là trung điểm AB), ta thấy tam giác BMN là tam giác cân tại M, và do đó BN∥MP (vì hai cạnh đáy BN và MP của tam giác BMN là song song và bằng nhau).

Vậy ta đã chứng minh BMNP là hình bình hành.

b/ Để chứng minh AQCP là hình thoi, ta cần chứng minh hai điều kiện: AQ∥CP và AQ=CP.

Do Q là điểm đối xứng của P qua N, ta có PQ=QN và NQ=NP. Vì BMNP là hình bình hành (đã chứng minh ở câu a), ta biết BM=NP và BM∥NP. Từ đó, ta thấy:

MQ=BM+BQ=NP+NQ=PQ.

Vậy MQ=PQ, kết hợp với AQ∥MP (do BMNP là hình bình hành), ta thấy AQCP là hình thoi.

c/ Để AQCP là hình thoi, cần và đủ để AQ∥CP và AQ=CP.

Từ điều kiện AQ∥CP, ta có AP∥CQ.

Do AQ=CP (theo câu b), ta thấy APCQ là tứ giác cân tại A (vì AQCP là hình thoi).

Điều kiện cần để tứ giác APCQ là hình thoi là tứ giác APCQ là hình thoi nội tiếp (tức là APCQ có thể được nội tiếp trong một đường tròn).

Vậy, tứ giác APCQ là hình thoi khi và chỉ khi nó là tứ giác nội tiếp.

a/ Hoàn cảnh ra đời: từ cuối thế kỉ XIII, người Hồi giáo gốc Thổ Nhĩ Kì đã xâm nhập, chiếm miền Bắc Ấn Độ và lập nên Vương triều Hồi giáo Đê-li (1206).

b/ Tình hình kinh tế - chính trị - xã hội:

- Tình hình chính trị:

+ Nhà vua có quyền hành cao nhất.

+ Ấn Độ được chia thành nhiều đơn vị hành chính do các tướng lĩnh Hồi giáo cai quản.

+ Chiến tranh xâm chiếm lãnh thổ của nhiều tiểu quốc ở Nam Ấn với hi vọng thành lập đế quốc Hồi giáo.

- Tình hình kinh tế:

+ Nông nghiệp: nghề trồng lúa giữ vai trò quan trọng và được khuyến khích phát triển.

+ Thủ công nghiệp phát triển với trình độ kĩ thuật cao hơn so với các thời kì trước

+ Thương nghiệp phát triển với sự ra đời của nhiều thành thị và hải cảng lớn.

- Tình hình xã hội:

+ Mâu thuẫn xã hội gay gắt, trong đó nổi bật là mâu thuẫn tôn giáo, sắc tộc và mâu thuẫn dân tộc.

+ Hành loạt các cuộc đấu tranh chống triều đình phong kiến của nhân dân đã diễn ra

a) 

Xét tam giác AED và tam giác CEF có:

AE = CE (E là trung điểm của AC)

AED = CEF (2 góc đối đỉnh)

ED = EF (E là trung điểm của DF)

=> Tam giác AED = Tam giác CEF (c.g.c)

b)

Tam giác AED = Tam giác CEF
=> AD = CF (2 cạnh tương ứng)

mà AD = DB (D là trung điểm của AB)

=> DB = CF 

c)

ADE = CFE (2 góc tương ứng) mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AD // CF

Xét tam giác BDC và tam giác FCD có:

BD = FC (chứng minh trên)

BDC = FCD (2 góc so le trong, AD // CF)

CD chung

=> Tam giác BDC = Tam giác FCD (c.g.c)