Gọi chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là: a (m)

==> Chiều rộng của thửa ruộng là:  ( vì chiều rộng sẽ bằng 2/3 chiều dài)

Nửa chu vi thửa ruộng hình chữ nhật là: 120:2=60 (m)

Khi đó:  (m)

<=> 

<=> a=36 (m) => chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là 36 m 

Suy ra chiều Chiều rộng của thửa ruộng là: 24 m

??

Ở đây ta cần tìm m để bất đẳng thức dưới là đúng

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}=\frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le \frac{1}{3}+m\left( a-1 \right)\Leftrightarrow -\frac{a\left( a-1 \right)}{3\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)}\le m\left( a-1 \right)$

Tương tự như trên ta dự đoán rằng với $latex \displaystyle m=-\frac{1}{9}$ thì bất đẳng thức phụ đúng. Thật vậy

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}\le \frac{4}{9}-\frac{a}{9}\Leftrightarrow 0\le \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 3-a \right)}{3\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)}\Leftrightarrow 0\le \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( b+c \right)}{3\left( {{a}^{2}}-a+3 \right)}$

Hoàn toàn tương tự ta được

$latex \displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}-b+3}\le \frac{4}{9}-\frac{b}{9};\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}-c+3}\le \frac{4}{9}-\frac{c}{9}$

Cộng theo về các bất đẳng thức trên ta được

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}+\frac{1}{{{b}^{2}}+c+a}+\frac{1}{{{c}^{2}}+a+b}\le \frac{4}{3}-\frac{a+b+c}{9}=1$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại $latex a=b=c=1$.

Ta đi chứng minh bất đẳng thức $latex \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b$

Thật vậy, dễ dàng chứng minh được $latex {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge ab\left( a+b \right)$, ta biến đổi tương đương bất đẳng thức bên như sau

$latex \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge ab\left( a+b \right)\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le 6{{a}^{3}}-ab\left( a+b \right)\\\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le a\left( 6{{a}^{2}}-ab-{{b}^{2}} \right)\Leftrightarrow 5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\le a\left( 2a-b \right)\left( 3a+b \right)\\\Leftrightarrow \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b\end{array}$

Hoàn toàn tương tự ta được $latex \frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}\le 2b-c;\,\,\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le 2c-a$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $latex \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}+\frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}+\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le a+b+c=3$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi $latex a=b=c=1$.

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên, ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức $latex \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le ma+nb$ đúng, với $latex m+n=1\Leftrightarrow n=1-m$.

Ta viết lại bất đẳng thức trên thành

$latex \frac{\frac{5{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}-1}{\frac{a}{b}+\frac{3{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}}\le \frac{ma}{b}+1-m\Leftrightarrow \frac{5{{t}^{3}}-1}{t+3{{t}^{2}}}\le m\left( t-1 \right)+1$ với $latex t=\frac{a}{b}$

Để ý đến đẳng thức xẩy ra tại $latex a=b=c$ tức là xẩy ra tại $latex t=1$, khi đó ta cần xác định m sao cho

$latex \frac{5{{t}^{3}}-1}{t+3{{t}^{2}}}\le m\left( t-1 \right)+1\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( \frac{5{{t}^{2}}+2t+1}{t+3{{t}^{2}}}-m \right)\le 0$

Cho $latex t=1$ thì ta được $latex \frac{5{{t}^{2}}+2t+1}{t+3{{t}^{2}}}=2$ nên ta chọn $latex m=2$ và từ đó ta được $latex n=-1$. Khi này ta đi chứng minh bất đẳng thức $latex \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le 2a-b$.

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 5$

Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

$latex \displaystyle \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 2{{a}^{2}}+6a+3 \right)}{3{{a}^{2}}}\ge 0$

Hiển nhiên đúng với a là số thực dương.

Áp dụng tương tự ta được $latex \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2b}{3};\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2c}{3}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 7-\frac{2\left( a+b+c \right)}{3}=5$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $latex a=b=c=1$.

Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toán sau này của chúng ta.

Bài toán trên các biến trong cả hai vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơn giản hơn nếu có thể. Nhưng rõ ràng chỉ từng đó thôi là không đủ. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức sau

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}\ge 0$

Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với a thực dương.

Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện .

Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+ma+n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Trong đó m và n là các hệ số chưa xác định.

Thiết lập tương tự với các biến b và c ta được

$latex \displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mb+n;\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mc+n$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}}{3}\ge 5+m\left( a+b+c \right)+3n=5+3\left( m+n \right)$

Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện $latex \displaystyle m+n=0\Leftrightarrow n=-m$. Thế vào (1) dẫn đến

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left( a-1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức (2) là đúng. Chú ý đẳng thức xẩy ra tại $latex a=b=c=1$ nên ta cần xác định m sao cho

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left( a-1 \right)\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( \frac{\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}-m \right)\ge 0$

Khi cho $latex a=1$ thì ta có $latex \displaystyle \frac{\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}=-\frac{2}{3}$ từ đó ta dự đoán rằng $latex \displaystyle m=-\frac{2}{3}$ để tạo thành đại lượng bình phương $latex {{\left( a-1 \right)}^{2}}$ trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$