☆**Câu a:**
Step 1: **Rút gọn biểu thức $M$**
Biểu thức $M$ được cho là:
$M = \frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+3} + \frac{3x-3}{9-x^2}$
Ta nhận thấy rằng $9 - x^2 = (3-x)(3+x)$. Do đó, ta có thể viết lại biểu thức thứ hai:
$\frac{3x-3}{9-x^2} = \frac{3(x-1)}{(3-x)(3+x)} = -\frac{3(x-1)}{(x-3)(3+x)}$
Bây giờ, ta có:
$M = \frac{x(x+1)}{(x-3)(x+3)} - \frac{3(x-1)}{(x-3)(3+x)}$
Bây giờ, đưa về cùng mẫu số:
$M = \frac{x(x+1) - 3(x-1)}{(x-3)(x+3)}$
Bây giờ, tính tử số:
$x(x+1) - 3(x-1) = x^2 + x - 3x + 3 = x^2 - 2x + 3$
Vậy:
$M = \frac{x^2 - 2x + 3}{(x-3)(x+3)}$

☆**Câu b:**
Step 1: **Tìm các phân thức $P$ và $Q$**
Ta có $N = \frac{x+1}{x-3}$.
Ta cần tìm $P$ và $Q$ sao cho:
$P = M \cdot N$
$Q - N = M$
Thay $M$ vào $P$:
$P = \left(\frac{x^2 - 2x + 3}{(x-3)(x+3)}\right) \cdot \left(\frac{x+1}{x-3}\right) = \frac{(x^2 - 2x + 3)(x+1)}{(x-3)^2(x+3)}$
Và từ $Q - N = M$:
$Q = M + N = \frac{x^2 - 2x + 3}{(x-3)(x+3)} + \frac{x+1}{x-3}$
Đưa về cùng mẫu số:
$Q = \frac{x^2 - 2x + 3 + (x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)}$
Tính tử số:
$x^2 - 2x + 3 + (x^2 + 4x + 3) = 2x^2 + 2x + 6$
Vậy:
$Q = \frac{2x^2 + 2x + 6}{(x-3)(x+3)}$

Gọi quãng đường từ A đến B là S km. Khi đi xuôi dòng, tốc độ của ca nô là (v + 3) km/h, trong đó v là tốc độ của ca nô trong nước đứng. Khi đi ngược dòng, tốc độ là (v - 3) km/h.

Theo công thức quãng đường = tốc độ x thời gian, ta có:

1. Xuôi dòng:
S = (v + 3) * (4/3)

2. Ngược dòng:
S = (v - 3) * 2

Hai phương trình này đều bằng S, nên ta có:

(v + 3) * (4/3) = (v - 3) * 2

Giải phương trình này:

4v + 12 = 6v - 18

12 + 18 = 6v - 4v

30 = 2v

v = 15 km/h

Thay v vào một trong hai phương trình để tìm S:

S = (15 + 3) * (4/3) = 18 * (4/3) = 24 km.

Tổng quãng đường đi xuôi dòng và ngược dòng là 2S = 2 * 24 = 48 km.