Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $E(1,1,-2)$ và vuông góc với mặt phẳng $P: 2x - z + 3 = 0$ và $Q: x + y - z + 3 = 0$, chúng ta sử dụng tính chất của vector pháp tuyến.

Vector pháp tuyến của $P$ là $(2, 0, -1)$, và của $Q$ là $(1, 1, -1)$. Vì mặt phẳng mới vuông góc với cả $P$ và $Q$, nên vector pháp tuyến của nó cũng phải vuông góc với cả hai vector trên.

Một cách để đạt được điều này là lấy tích vector của vector pháp tuyến của $P$ và $Q$, sau đó sử dụng nó làm vector pháp tuyến cho mặt phẳng cần tìm.

$N = (2, 0, -1) \times (1, 1, -1)$

Thực hiện phép nhân vector ta có $N = (1, 1, 2)$. Vậy phương trình của mặt phẳng mới là $x + y + 2z + D = 0$, với $D$ là một hằng số.

Để xác định $D$, sử dụng điểm $E(1,1,-2)$ thuộc mặt phẳng mới:

$1 + 1 - 2 \times 2 + D = 0$

Giải phương trình trên cho $D$, ta được $D = 2$. Vậy phương trình của mặt phẳng là $x + y + 2z + 2 = 0$.