Ta cần chứng minh:
1+2258 = \int_{-15}^{15} |x^2+3x| dx
Vế trái:
VT = 1+2258 = 2259
Vế phải:

Xét hàm $f(x)=x^2+3x = x(x+3)$

$f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-3$

Bảng xét dấu trên đoạn $[-15,15]$:

$f(x) \ge 0$ khi $x \in [-15,-3] \cup [0,15]$
$f(x) < 0$ khi $x \in (-3,0)$

Do đó:
|x^2+3x| = \begin{cases} x^2+3x & \text{khi } x \in [-15,-3]\cup[0,15] \\ -(x^2+3x) & \text{khi } x \in (-3,0) \end{cases}
\int_{-15}^{15} |x^2+3x| dx = \int_{-15}^{-3}(x^2+3x)dx + \int_{-3}^{0}-(x^2+3x)dx + \int_{0}^{15}(x^2+3x)dx
Nguyên hàm: $\int (x^2+3x)dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} = F(x)$

$I_1 = F(-3)-F(-15) = \left(-9+\frac{27}{2}\right) - \left(-1125+\frac{675}{2}\right) = \frac{9}{2} + \frac{1575}{2}=792$

$I_2 = -(F(0)-F(-3)) = -\left(0-\frac{9}{2}\right)=\frac{9}{2}=4.5$

$I_3 = F(15)-F(0) = 1125+\frac{675}{2} = \frac{2925}{2}=1462.5$

Cộng lại:
VP = I_1+I_2+I_3 = 792 + 4.5 + 1462.5 = 2259
Vậy $VT = VP = 2259$, nên đẳng thức được chứng minh.

Ta cần chứng minh:
1+2258 = \int_{-15}^{15} |x^2+3x| dx
Vế trái:
VT = 1+2258 = 2259
Vế phải:

Xét hàm f(x)=x2+3x=x(x+3)

f(x)=0⇔x=0 hoặc x=−3

Bảng xét dấu trên đoạn [−15,15]:

f(x)≥0 khi x∈[−15,−3]∪[0,15]
f(x)<0 khi x∈(−3,0)

Do đó:
|x^2+3x| = {x2+3xkhi x∈[−15,−3]∪[0,15]−(x2+3x)khi x∈(−3,0)
\int_{-15}^{15} |x^2+3x| dx = \int_{-15}^{-3}(x^2+3x)dx + \int_{-3}^{0}-(x^2+3x)dx + \int_{0}^{15}(x^2+3x)dx
Nguyên hàm: ∫(x2+3x)dx=x33+3x22=F(x)

I1=F(−3)−F(−15)=(−9+272)−(−1125+6752)=92+15752=792

I2=−(F(0)−F(−3))=−(0−92)=92=4.5

I3=F(15)−F(0)=1125+6752=29252=1462.5

Cộng lại:
VP = I_1+I_2+I_3 = 792 + 4.5 + 1462.5 = 2259
Vậy VT=VP=2259, nên đẳng thức được chứng minh.