Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Trường hợp 1: Nếu \(a = b\)
Theo định nghĩa của tích phân cận trùng nhau:
\(\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0\)
Vì \(0 \geq 0\), mệnh đề luôn đúng khi \(a = b\).

Trường hợp 2: Nếu \(a < b\)
Để chứng minh một cách chặt chẽ, ta sử dụng định nghĩa tích phân thông qua tổng Riemann:

Phân hoạch đoạn \([a; b]\):
Chia đoạn \([a; b]\) thành \(n\) đoạn nhỏ tùy ý bởi các điểm chia:
\(a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b\)
Độ dài của mỗi đoạn nhỏ thứ \(i\) được ký hiệu là:
\(\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}>0\quad (\text{với }i=1,2,\dots ,n)\)

Chọn điểm đại diện:
Trên mỗi đoạn nhỏ \([x_{i-1}; x_i]\), ta chọn một điểm đại diện \(c_{i}\) bất kỳ (\(c_i \in [x_{i-1}; x_i]\)).

Lập tổng Riemann:
Tổng Riemann của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([a; b]\) tương ứng với phép phân hoạch trên là:
\(S_{n}=\sum _{i=1}^{n}f(c_{i})\cdot \Delta x_{i}\)

Đánh giá dấu của tổng Riemann:Theo giả thiết đề bài, ta có \(f(x) \geq 0\) với mọi \(x \in [a; b]\). Vì các điểm \(c_{i}\) đều thuộc đoạn \([a; b]\) nên:
\(f(c_{i})\ge 0\quad \forall i=1,2,\dots ,n\)
Vì cách chia đoạn từ trái sang phải (\(a < b\)) nên độ dài mỗi đoạn nhỏ luôn dương:
\(\Delta x_{i}>0\quad \forall i=1,2,\dots ,n\)

Tích của hai số không âm là một số không âm, do đó:
\(f(c_{i})\cdot \Delta x_{i}\ge 0\quad \forall i=1,2,\dots ,n\)Tổng của các số không âm cũng là một số không âm:
\(S_{n}=\sum _{i=1}^{n}f(c_{i})\cdot \Delta x_{i}\ge 0\)

Lấy giới hạn để suy ra tích phân:
Theo định nghĩa, tích phân xác định chính là giới hạn của tổng Riemann khi độ dài của đoạn nhỏ lớn nhất tiến về \(0\) (tức là \(n \to \infty\)):
\(\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\max \Delta x_{i}\rightarrow 0}S_{n}\)Vì mọi tổng \(S_{n}\) đều không âm (\(S_n \geq 0\)), nên theo tính chất bảo toàn dấu qua phép lấy giới hạn, giới hạn của chúng cũng phải không âm:
\(\lim _{\max \Delta x_{i}\rightarrow 0}S_{n}\ge 0\implies \int _{a}^{b}f(x)\,dx\ge 0\)

Kết luận:

Trong mọi trường hợp với \(a \leq b\), nếu \(f(x) \geq 0\) trên \([a; b]\) thì \(\int_a^b f(x) \, dx \geq 0\) (Đpcm).

...Xem thêm

Answer 2