1. Xác định chu kì dao động
Chu kì dao động \(T\) được tính bằng công thức:
\(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{4\pi }=0,5\text{\ s}\)

2. Phân tích khoảng thời gian
Khoảng thời gian vật di chuyển là:
\(\Delta t=t_{2}-t_{1}=1,625-0=1,625\text{\ s}\)
Ta phân tích \(\Delta t\) theo chu kì \(T\):
\(\Delta t=3,25T=3T+0,25T=3T+\frac{T}{4}\)
Thời gian dư ra là: \(\Delta t' = \frac{T}{4} = 0,125\text{ s}\).

3. Tính quãng đường chu kì nguyên
Trong mỗi chu kì nguyên \(T\), vật luôn đi được một quãng đường cố định là \(4A\) (với biên độ \(A = 6\text{ cm}\)).
Quãng đường đi được trong \(3\) chu kì đầu là:
\(S_{1}=3\times 4A=3\times 4\times 6=72\text{\ cm}\)

4. Tính quãng đường thời gian dư
Tại thời điểm ban đầu \(t_1 = 0\):
Vị trí của vật: \(x_1 = 6\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 3\text{ cm}\).
Vận tốc \(v_1 > 0\) (do pha ban đầu \(\varphi = -\frac{\pi}{3} < 0\)), nghĩa là vật đang chuyển động theo chiều dương về phía biên dương \(+5.196\) rồi đến \(+6\text{ cm}\).

Thời gian để vật đi từ vị trí \(x_1 = 3\text{ cm}\) (\(x = \frac{A}{2}\)) đến biên dương \(x = 6\text{ cm}\) (\(x = A\)) là:
\(\Delta t_{biên}=\frac{T}{6}\)
Vì thời gian dư \(\Delta t' = \frac{T}{4} > \frac{T}{6}\), nên trong khoảng thời gian dư này vật sẽ đi ra đến biên dương, đổi chiều và đi ngược lại.
Giai đoạn 1 (Đến biên dương): Vật đi từ \(x = 3\text{ cm}\) đến \(x = 6\text{ cm}\). Quãng đường là:
\(s_{a}=6-3=3\text{\ cm}\)
Thời gian đã dùng: \(\Delta t_{biên} = \frac{T}{6}\).
Giai đoạn 2 (Quay đầu): Thời gian còn lại là:
\(\Delta t_{còn}=\frac{T}{4}-\frac{T}{6}=\frac{T}{12}\)
Khi đi từ biên dương về trong thời gian \(\frac{T}{12}\), vật sẽ đến vị trí \(x_2 = \frac{A\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}\). Quãng đường đi tiếp là:
\(s_{b}=6-3\sqrt{3}\text{\ cm}\)

Tổng quãng đường trong thời gian dư là:
\(S_{2}=s_{a}+s_{b}=3+(6-3\sqrt{3})=9-3\sqrt{3}\text{\ cm}\)

5. Tổng hợp kết quả
Tổng quãng đường vật đi được từ \(t_{1}\) đến \(t_{2}\) là:
\(S=S_{1}+S_{2}=72+9-3\sqrt{3}=81-3\sqrt{3}\approx 75,8\text{\ cm}\)

1. Xác định chu kì dao động
Chu kì dao động \(T\) được tính bằng công thức:
\(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{4\pi }=0,5\text{\ s}\)

2. Phân tích khoảng thời gian
Khoảng thời gian vật di chuyển là:
\(\Delta t=t_{2}-t_{1}=1,625-0=1,625\text{\ s}\)
Ta phân tích \(\Delta t\) theo chu kì \(T\):
\(\Delta t=3,25T=3T+0,25T=3T+\frac{T}{4}\)
Thời gian dư ra là: \(\Delta t' = \frac{T}{4} = 0,125\text{ s}\).

3. Tính quãng đường chu kì nguyên
Trong mỗi chu kì nguyên \(T\), vật luôn đi được một quãng đường cố định là \(4A\) (với biên độ \(A = 6\text{ cm}\)).
Quãng đường đi được trong \(3\) chu kì đầu là:
\(S_{1}=3\times 4A=3\times 4\times 6=72\text{\ cm}\)

4. Tính quãng đường thời gian dư
Tại thời điểm ban đầu \(t_1 = 0\):
Vị trí của vật: \(x_1 = 6\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 3\text{ cm}\).
Vận tốc \(v_1 > 0\) (do pha ban đầu \(\varphi = -\frac{\pi}{3} < 0\)), nghĩa là vật đang chuyển động theo chiều dương về phía biên dương \(+5.196\) rồi đến \(+6\text{ cm}\).

Thời gian để vật đi từ vị trí \(x_1 = 3\text{ cm}\) (\(x = \frac{A}{2}\)) đến biên dương \(x = 6\text{ cm}\) (\(x = A\)) là:
\(\Delta t_{biên}=\frac{T}{6}\)
Vì thời gian dư \(\Delta t' = \frac{T}{4} > \frac{T}{6}\), nên trong khoảng thời gian dư này vật sẽ đi ra đến biên dương, đổi chiều và đi ngược lại.
Giai đoạn 1 (Đến biên dương): Vật đi từ \(x = 3\text{ cm}\) đến \(x = 6\text{ cm}\). Quãng đường là:
\(s_{a}=6-3=3\text{\ cm}\)
Thời gian đã dùng: \(\Delta t_{biên} = \frac{T}{6}\).
Giai đoạn 2 (Quay đầu): Thời gian còn lại là:
\(\Delta t_{còn}=\frac{T}{4}-\frac{T}{6}=\frac{T}{12}\)
Khi đi từ biên dương về trong thời gian \(\frac{T}{12}\), vật sẽ đến vị trí \(x_2 = \frac{A\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}\). Quãng đường đi tiếp là:
\(s_{b}=6-3\sqrt{3}\text{\ cm}\)

Tổng quãng đường trong thời gian dư là:
\(S_{2}=s_{a}+s_{b}=3+(6-3\sqrt{3})=9-3\sqrt{3}\text{\ cm}\)

5. Tổng hợp kết quả
Tổng quãng đường vật đi được từ \(t_{1}\) đến \(t_{2}\) là:
\(S=S_{1}+S_{2}=72+9-3\sqrt{3}=81-3\sqrt{3}\approx 75,8\text{\ cm}\)