1. Xác định thông số dao động
Từ phương trình dao động điều hòa:
\(x=6\cos \left(4\pi t-\frac{\pi }{3}\right)\text{\ (cm)}\)
Ta có các đại lượng sau:
Biên độ dao động: \(A = 6\text{ cm}\)
Tần số góc: \(\omega = 4\pi\text{ (rad/s)}\)
Pha ban đầu: \(\varphi = -\frac{\pi}{3}\text{ rad}\)

2. Tính chu kỳ dao động
Chu kỳ dao động \(T\) của vật được tính bằng công thức:
\(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{4\pi }=0,5\text{\ s}\)

3. Phân tích khoảng thời gian
Khoảng thời gian vật di chuyển kể từ thời điểm ban đầu là:
\(\Delta t=t_{2}-t_{1}=1,625-0=1,625\text{\ s}\)
Biểu diễn \(\Delta t\) theo chu kỳ \(T\):
\(\frac{\Delta t}{T}=\frac{1,625}{0,5}=3,25\implies \Delta t=3T+0,25\text{\ s}\)
Vì \(0{,}25\text{ s} = \frac{T}{2}\), ta có thể viết lại:
\(\Delta t=3T+\frac{T}{4}\)

4. Tính quãng đường vật đi
Quãng đường vật đi được chia thành hai phần tương ứng với hai khoảng thời gian trên:
Trong thời gian \(3T\): Mỗi chu kỳ vật đi được quãng đường là \(4A\). Do đó trong \(3T\), quãng đường đi được là:
\(S_{1}=3\times 4A=12A=12\times 6=72\text{\ cm}\)
Trong thời gian dư \(\Delta t' = \frac{T}{4} = 0{,}125\text{ s}\) còn lại:Tại thời điểm ban đầu \(t_1 = 0\) (sau \(3T\) vật lại trở về vị trí cũ và hướng cũ):
Vị trí của vật: \(x_1 = 6\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 3\text{ cm} = \frac{A}{2}\)
Vì pha ban đầu \(\varphi = -\frac{\pi}{3} < 0\) nên vật đang chuyển động theo chiều dương về phía biên dương \(+A\).
Thời gian vật đi từ vị trí \(x_1 = 3\text{ cm}\) đến biên dương \(+A = 6\text{ cm}\) là:
\(\Delta t_{1}=\frac{T}{6}=\frac{0,5}{6}=\frac{1}{12}\text{\ s}\)
Quãng đường đi được trong đoạn này: \(S_{a} = A - \frac{A}{2} = 6 - 3 = 3\text{ cm}\).
Thời gian còn lại của khoảng \(\frac{T}{4}\) là:
\(\Delta t_{2}=\frac{T}{4}-\frac{T}{6}=\frac{T}{12}=\frac{0,5}{12}=\frac{1}{24}\text{\ s}\)
Trong thời gian \(\frac{T}{12}\) này, vật đổi chiều tại biên dương \(+A\) và đi theo chiều âm đến vị trí có tọa độ:
\(x_{2}=A\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)=6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{\ cm}\)
Quãng đường đi được trong đoạn này: \(S_{b} = A - x_2 = 6 - 3\sqrt{3}\text{ cm}\).

Tổng quãng đường đi được trong thời gian lẻ \(\frac{T}{4}\) là:
\(S_{2}=S_{a}+S_{b}=3+(6-3\sqrt{3})=9-3\sqrt{3}\text{\ cm}\)
Tổng quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu đến \(t = 1{,}625\text{ s}\) là:
\(S=S_{1}+S_{2}=72+9-3\sqrt{3}=81-3\sqrt{3}\approx 75,80\text{\ cm}\)

✅ Kết luận
Kể từ thời điểm ban đầu \(t_1 = 0\) đến thời điểm \(t_2 = 1{,}625\text{ s}\), vật dao động điều hòa đi được tổng quãng đường là \(81 - 3\sqrt{3}\text{ cm}\) (tương đương với khoảng \(75{,}80\text{ cm}\)).

1. Xác định chu kì dao động
Chu kì dao động \(T\) được tính bằng công thức:
\(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{4\pi }=0,5\text{\ s}\)

2. Phân tích khoảng thời gian
Khoảng thời gian vật di chuyển là:
\(\Delta t=t_{2}-t_{1}=1,625-0=1,625\text{\ s}\)
Ta phân tích \(\Delta t\) theo chu kì \(T\):
\(\Delta t=3,25T=3T+0,25T=3T+\frac{T}{4}\)
Thời gian dư ra là: \(\Delta t' = \frac{T}{4} = 0,125\text{ s}\).

3. Tính quãng đường chu kì nguyên
Trong mỗi chu kì nguyên \(T\), vật luôn đi được một quãng đường cố định là \(4A\) (với biên độ \(A = 6\text{ cm}\)).
Quãng đường đi được trong \(3\) chu kì đầu là:
\(S_{1}=3\times 4A=3\times 4\times 6=72\text{\ cm}\)

4. Tính quãng đường thời gian dư
Tại thời điểm ban đầu \(t_1 = 0\):
Vị trí của vật: \(x_1 = 6\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 3\text{ cm}\).
Vận tốc \(v_1 > 0\) (do pha ban đầu \(\varphi = -\frac{\pi}{3} < 0\)), nghĩa là vật đang chuyển động theo chiều dương về phía biên dương \(+5.196\) rồi đến \(+6\text{ cm}\).

Thời gian để vật đi từ vị trí \(x_1 = 3\text{ cm}\) (\(x = \frac{A}{2}\)) đến biên dương \(x = 6\text{ cm}\) (\(x = A\)) là:
\(\Delta t_{biên}=\frac{T}{6}\)
Vì thời gian dư \(\Delta t' = \frac{T}{4} > \frac{T}{6}\), nên trong khoảng thời gian dư này vật sẽ đi ra đến biên dương, đổi chiều và đi ngược lại.
Giai đoạn 1 (Đến biên dương): Vật đi từ \(x = 3\text{ cm}\) đến \(x = 6\text{ cm}\). Quãng đường là:
\(s_{a}=6-3=3\text{\ cm}\)
Thời gian đã dùng: \(\Delta t_{biên} = \frac{T}{6}\).
Giai đoạn 2 (Quay đầu): Thời gian còn lại là:
\(\Delta t_{còn}=\frac{T}{4}-\frac{T}{6}=\frac{T}{12}\)
Khi đi từ biên dương về trong thời gian \(\frac{T}{12}\), vật sẽ đến vị trí \(x_2 = \frac{A\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}\). Quãng đường đi tiếp là:
\(s_{b}=6-3\sqrt{3}\text{\ cm}\)

Tổng quãng đường trong thời gian dư là:
\(S_{2}=s_{a}+s_{b}=3+(6-3\sqrt{3})=9-3\sqrt{3}\text{\ cm}\)

5. Tổng hợp kết quả
Tổng quãng đường vật đi được từ \(t_{1}\) đến \(t_{2}\) là:
\(S=S_{1}+S_{2}=72+9-3\sqrt{3}=81-3\sqrt{3}\approx 75,8\text{\ cm}\)

1. Xác định chu kì dao động
Chu kì dao động \(T\) được tính bằng công thức:
\(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{4\pi }=0,5\text{\ s}\)

2. Phân tích khoảng thời gian
Khoảng thời gian vật di chuyển là:
\(\Delta t=t_{2}-t_{1}=1,625-0=1,625\text{\ s}\)
Ta phân tích \(\Delta t\) theo chu kì \(T\):
\(\Delta t=3,25T=3T+0,25T=3T+\frac{T}{4}\)
Thời gian dư ra là: \(\Delta t' = \frac{T}{4} = 0,125\text{ s}\).

3. Tính quãng đường chu kì nguyên
Trong mỗi chu kì nguyên \(T\), vật luôn đi được một quãng đường cố định là \(4A\) (với biên độ \(A = 6\text{ cm}\)).
Quãng đường đi được trong \(3\) chu kì đầu là:
\(S_{1}=3\times 4A=3\times 4\times 6=72\text{\ cm}\)

4. Tính quãng đường thời gian dư
Tại thời điểm ban đầu \(t_1 = 0\):
Vị trí của vật: \(x_1 = 6\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 3\text{ cm}\).
Vận tốc \(v_1 > 0\) (do pha ban đầu \(\varphi = -\frac{\pi}{3} < 0\)), nghĩa là vật đang chuyển động theo chiều dương về phía biên dương \(+5.196\) rồi đến \(+6\text{ cm}\).

Thời gian để vật đi từ vị trí \(x_1 = 3\text{ cm}\) (\(x = \frac{A}{2}\)) đến biên dương \(x = 6\text{ cm}\) (\(x = A\)) là:
\(\Delta t_{biên}=\frac{T}{6}\)
Vì thời gian dư \(\Delta t' = \frac{T}{4} > \frac{T}{6}\), nên trong khoảng thời gian dư này vật sẽ đi ra đến biên dương, đổi chiều và đi ngược lại.
Giai đoạn 1 (Đến biên dương): Vật đi từ \(x = 3\text{ cm}\) đến \(x = 6\text{ cm}\). Quãng đường là:
\(s_{a}=6-3=3\text{\ cm}\)
Thời gian đã dùng: \(\Delta t_{biên} = \frac{T}{6}\).
Giai đoạn 2 (Quay đầu): Thời gian còn lại là:
\(\Delta t_{còn}=\frac{T}{4}-\frac{T}{6}=\frac{T}{12}\)
Khi đi từ biên dương về trong thời gian \(\frac{T}{12}\), vật sẽ đến vị trí \(x_2 = \frac{A\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}\). Quãng đường đi tiếp là:
\(s_{b}=6-3\sqrt{3}\text{\ cm}\)

Tổng quãng đường trong thời gian dư là:
\(S_{2}=s_{a}+s_{b}=3+(6-3\sqrt{3})=9-3\sqrt{3}\text{\ cm}\)

5. Tổng hợp kết quả
Tổng quãng đường vật đi được từ \(t_{1}\) đến \(t_{2}\) là:
\(S=S_{1}+S_{2}=72+9-3\sqrt{3}=81-3\sqrt{3}\approx 75,8\text{\ cm}\)