y = ${\sin }^{2}x - 2\sin x$ = ${\sin }^{2}x - 2\sin x + 1 - 1$

   = ${\left(\sin x - 1\right)}^2 - 1$ $⩾ - 1$

Dấu [=] xảy ra khi: $\sin x - 1 = 0$

                               sin x = 1

                                     x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2} + k2\mathrm{\pi } \left(\mathrm{k} \in \mathrm{Z}\right)$

Vậy chọn đáp án C

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin^2 x - 2\sin x$.

Lời giải:

Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện

Đặt $t = \sin x$.

Vì giá trị của hàm số sin luôn nằm trong đoạn $[-1; 1]$, nên điều kiện của $t$ là: $t \in [-1; 1]$.

Bước 2: Biến đổi hàm số theo ẩn $t$

Khi đó, hàm số trở thành một hàm số bậc hai đối với $t$:

$y = f(t) = t^2 - 2t \quad \text{với } t \in [-1; 1]$
Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$

Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức (thêm bớt)

$y = t^2 - 2t + 1 - 1 = (t - 1)^2 - 1$
Vì $(t - 1)^2 \geq 0$ với mọi $t$, nên:

$y = (t - 1)^2 - 1 \geq -1$
Dấu "$=$" xảy ra khi $t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ (thỏa mãn điều kiện $t \in [-1; 1]$).

Khi $t = 1 \Rightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$.
Cách 2: Xét bảng biến thiên của hàm bậc hai $f(t) = t^2 - 2t$

Hàm số có đỉnh parabol tại $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2\cdot1} = 1$.

Vì hệ số $a = 1 > 0$ nên bề lõm parabol quay lên trên.

Trên đoạn $[-1; 1]$, hàm số nghịch biến đi xuống từ $t = -1$ đến $t = 1$.
Tại $t = -1 \Rightarrow f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) = 3$
Tại $t = 1 \Rightarrow f(1) = 1^2 - 2(1) = -1$
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$ là $-1$.

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1$.

Do đó, đáp án đúng là C.

Đáp án chính xác là C. -1.

1. Đặt ẩn phụ xét khoảng biến thiên
Đặt \(t = \sin x\). Do tập giá trị của hàm số lượng giác sin luôn nằm trong đoạn từ \(-1\) đến \(1\), ta có điều kiện:
\(t\in [-1;1]\)

2. Khảo sát hàm số bậc hai
Hàm số đã cho trở thành một hàm số bậc hai theo biến \(t\):
\(f(t)=t^{2}-2t\)
Tọa độ đỉnh của parabol \(f(t)\) là:
\(t_{I}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1\)
Nhận thấy giá trị \(t = 1\) thuộc đoạn \([-1; 1]\).

3. Tìm giá trị nhỏ nhất
Do hệ số \(a = 1 > 0\), parabol quay bề lõm lên trên, bề mặt đồ thị sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh \(t = 1\).
Thay \(t = 1\) vào hàm số, ta được:
\(\min f(t)=f(1)=1^{2}-2\cdot 1=-1\)
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(-1\) khi \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).

4. Phân tích các phương án khác
❌ A. -1/2: Sai do tính toán nhầm giá trị của đỉnh parabol hoặc chọn sai điểm biên.
❌ B. 0: Đây là giá trị của hàm số khi \(t = 0\) (\(\sin x = 0\)), không phải giá trị nhỏ nhất.
❌ D. -1/3: Đây là một giá trị nhiễu không chính xác trong quá trình biến đổi đồ thị.

Kết luận
✅ Đáp án đúng là C.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin^2 x - 2\sin x\) trên tập xác định của nó bằng \(-1\).