Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Dưới đây là lời giải chi tiết cho cả hai bài toán tính thể tích khối tròn xoay của bạn:

a) Khối tròn xoay tạo bởi hình thang cong A
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong \(A\) quanh trục hoành được tính bằng công thức:
\(V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx\)
Với bài toán của bạn, giới hạn là \(y=e^x\), trục hoành (\(y=0\)), và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Áp dụng công thức, ta có:
\(V = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 \,dx = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \,dx\)
Tính tích phân:
\(\int e^{2x} \,dx = \frac{1}{2} e^{2x}\)
Thay cận vào, ta được thể tích là Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e^x , trục ...:
\(V = \pi \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}(e^2 - 1)\)

b) Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng B
Hình phẳng \(B\) được giới hạn bởi parabol \(y=x^2+1\) và đường thẳng \(y=2\).
Đầu tiên, tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
\(x^2 + 1 = 2 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Khi quay hình phẳng quanh trục tung, ta sử dụng phương pháp vỏ trụ với công thức:
\(V = 2\pi \int_{c}^{d} x \cdot \vert{}f_1(x) - f_2(x)\vert{} \,dx\)
Trong khoảng \(x \in [0, 1]\), đường \(y=2\) nằm phía trên parabol \(y=x^2+1\). Áp dụng công thức, ta có:
\(V = 2\pi \int_{0}^{1} x(2 - (x^2 + 1)) \,dx = 2\pi \int_{0}^{1} x(1 - x^2) \,dx\)
\(V = 2\pi \int_{0}^{1} (x - x^3) \,dx\)
Tính tích phân:
\(\int_{0}^{1} (x - x^3) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\)
Thay vào công thức ta được:
\(V = 2\pi \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{2}\)

đây là hình ảnh nhé

Hỏi đáp VietJack

...Xem thêm

Answer 2

Dưới đây là lời giải chi tiết cho cả hai bài toán tính thể tích khối tròn xoay của bạn:

a) Khối tròn xoay tạo bởi hình thang cong A
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong \(A\) quanh trục hoành được tính bằng công thức:
\(V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx\)
Với bài toán của bạn, giới hạn là \(y=e^x\), trục hoành (\(y=0\)), và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Áp dụng công thức, ta có:
\(V = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 \,dx = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \,dx\)
Tính tích phân:
\(\int e^{2x} \,dx = \frac{1}{2} e^{2x}\)
Thay cận vào, ta được thể tích là Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e^x , trục ...:
\(V = \pi \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}(e^2 - 1)\)

b) Khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng B
Hình phẳng \(B\) được giới hạn bởi parabol \(y=x^2+1\) và đường thẳng \(y=2\).
Đầu tiên, tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
\(x^2 + 1 = 2 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Khi quay hình phẳng quanh trục tung, ta sử dụng phương pháp vỏ trụ với công thức:
\(V = 2\pi \int_{c}^{d} x \cdot \vert{}f_1(x) - f_2(x)\vert{} \,dx\)
Trong khoảng \(x \in [0, 1]\), đường \(y=2\) nằm phía trên parabol \(y=x^2+1\). Áp dụng công thức, ta có:
\(V = 2\pi \int_{0}^{1} x(2 - (x^2 + 1)) \,dx = 2\pi \int_{0}^{1} x(1 - x^2) \,dx\)
\(V = 2\pi \int_{0}^{1} (x - x^3) \,dx\)
Tính tích phân:
\(\int_{0}^{1} (x - x^3) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\)
Thay vào công thức ta được:
\(V = 2\pi \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{2}\)

đây là hình ảnh nhé

Hỏi đáp VietJack

Answer 3

a,V=π:2(e^2-1)

b,

b) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng BBB quanh trục tung
Hình BBB được giới hạn bởi:

y=x^2+1và y=2

Bước 1. Tìm giao điểm

x^2+1=2

x^2=1

x=±1

Bước 2. Dùng phương pháp vỏ trụ
Do quay quanh trục tung nên lấy phần bên phải (0≤x≤1):

Bán kính: r=x
Chiều cao:h=2−(x^2+1)=1−x^2

Thể tích:

V=π:2

Đáp số

a,V=π:2(e^2-1)

b,V=π:2

Answer 4

Chúng ta sẽ giải từng phần một cách chi tiết:

---

### a) Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình thang cong A khi quay quanh trục hoành

- **Hình thang cong A** giới hạn bởi:
- Đồ thị hàm số: \( y = e^x \)
- Trục hoành: \( y = 0 \)
- Các đường thẳng: \( x = 0 \) và \( x = 1 \)

- Khi quay hình phẳng A quanh trục hoành (trục \( x \)), ta được khối tròn xoay.

- **Cách tính thể tích:**

- Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành được tính bằng công thức tích phân:
\[
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
\]
với \( f(x) = e^x \), \( a=0 \), \( b=1 \).

- Ta có:
\[
V = \pi \int_0^1 (e^x)^2 \, dx = \pi \int_0^1 e^{2x} \, dx
\]

- Tính tích phân:
\[
\int_0^1 e^{2x} \, dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_0^1 = \frac{e^2 - 1}{2}
\]

- Vậy thể tích là:
\[
V = \pi \cdot \frac{e^2 - 1}{2} = \frac{\pi}{2} (e^2 - 1)
\]

---

### b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng B khi quay quanh trục tung

- **Hình phẳng B** giới hạn bởi:
- Parabol: \( y = x^2 + 1 \)
- Đường thẳng: \( y = 2 \)

- Ta cần tính thể tích khối tròn xoay khi quay B quanh trục tung (trục \( y \)).

- **Bước 1: Xác định giới hạn trên trục \( y \)**

- \( y \) chạy từ \( y = 1 \) (khi \( x=0 \)) đến \( y=2 \).

- **Bước 2: Viết lại \( x \) theo \( y \)**

\[
y = x^2 + 1 \implies x^2 = y - 1 \implies x = \sqrt{y}
\]

- **Bước 3: Tính thể tích bằng phương pháp vỏ trụ (cylindrical shells) hoặc đĩa**

- Vì quay quanh trục tung, ta dùng phương pháp vỏ trụ:

\[
V = 2\pi \int_{x=a}^{x=b} x \cdot h(x) \, dx
\]

- Ở đây, \( h(x) \) là chiều cao của hình phẳng theo \( y \), tức là khoảng cách giữa \( y=2 \) và \( y = x^2 + 1 \):

\[
h(x) = 2 - (x^2 + 1) = 1 - x^2
\]

- Giới hạn \( x \) là từ \( x=0 \) đến \( x=1 \) (vì \( y=2 \Rightarrow x^2 + 1 = 2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1 \)).

- **Bước 4: Tính tích phân**

\[
V = 2\pi \int_0^1 x (1 - x^2) \, dx = 2\pi \int_0^1 (x - x^3) \, dx
\]

\[
= 2\pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 2\pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}
\]

---

### **Kết luận:**

- a) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang cong A quanh trục hoành là:
\[
\boxed{V = \frac{\pi}{2} (e^2 - 1)}
\]

- b) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng B quanh trục tung là:
\[
\boxed{V = \frac{\pi}{2}}
\]