Đề bài cho:

• Hình chóp $S\mathrm{.}ABCD$S.ABCD có đáy $ABCD$ABCD là hình bình hành.
• Cạnh $BC=a$BC=a.
• Góc $\mathrm{\angle }ABC=120^{\circ }$∠ABC=120∘.
• Mặt bên $SAB$SAB là tam giác đều cạnh $2a$2a.
• Mặt bên $SAB$SAB tạo với mặt đáy một góc $\alpha$α thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{1}{3}$cosα=31​.
• Hình chiếu của $S$S lên mặt phẳng đáy nằm trong hình bình hành $ABCD$ABCD.
• Yêu cầu: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$SB và $AD$AD theo $a$a.

• Gọi $A$A tại gốc tọa độ $(0,0,0)$(0,0,0).

• Vì $ABCD$ABCD là hình bình hành, ta có thể đặt:

  • $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$AB=u
  • $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$AD=v

• Ta biết:

  • $BC=a$BC=a
  • $\mathrm{\angle }ABC=120^{\circ }$∠ABC=120∘

• Vì $ABCD$ABCD là hình bình hành, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{v}$BC=AD=v.

• Đặt:

  • $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(2a,0,0)$u=AB=(2a,0,0) (chọn chiều dài $AB=2a$AB=2a để phù hợp với tam giác đều $SAB$SAB cạnh $2a$2a)
  • $\vec{v}=\overrightarrow{AD}=(a\cos 120^{\circ },a\sin 120^{\circ },0)=(a\cdot (-\frac{1}{2}),a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},0)=(-\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0)$v=AD=(acos120∘,asin120∘,0)=(a⋅(−21​),a⋅23​​,0)=(−2a​,2a3​​,0)

• Vậy:

  • $A=(0,0,0)$A=(0,0,0)
  • $B=(2a,0,0)$B=(2a,0,0)
  • $D=(-\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0)$D=(−2a​,2a3​​,0)
  • $C=B+\overrightarrow{AD}=(2a,0,0)+(-\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0)=(\frac{3a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0)$C=B+AD=(2a,0,0)+(−2a​,2a3​​,0)=(23a​,2a3​​,0)

• Tam giác $SAB$SAB là tam giác đều cạnh $2a$2a.

• $A=(0,0,0)$A=(0,0,0), $B=(2a,0,0)$B=(2a,0,0).

• Để tam giác đều, $S$S phải nằm trên đường thẳng vuông góc với đoạn $AB$AB tại trung điểm $M$M của $AB$AB.

• Trung điểm $M$M của $AB$AB:

  $$M=(\frac{0+2a}{2},\frac{0+0}{2},0)=(a,0,0)$$M=(20+2a​,20+0​,0)=(a,0,0)

• Chiều cao tam giác đều cạnh $2a$2a là:

  $$h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2a=\sqrt{3}a$$h=23​​×2a=3​a

• Do đó, $S$S có tọa độ:

  $$S=(a,0,h)=(a,0,\sqrt{3}a)$$S=(a,0,h)=(a,0,3​a)

• Mặt đáy nằm trên mặt phẳng $z=0$z=0.

• Mặt bên $SAB$SAB có 3 điểm $S,A,B$S,A,B.

• Vector $\overrightarrow{AB}=(2a,0,0)$AB=(2a,0,0).

• Vector $\overrightarrow{AS}=(a,0,\sqrt{3}a)$AS=(a,0,3​a).

• Vector pháp tuyến mặt bên $SAB$SAB:

  $$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=\mid \begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 2a& 0& 0\\ a& 0& \sqrt{3}a\end{array}\mid =(0\cdot \sqrt{3}a-0\cdot 0)\mathbf{i}-(2a\cdot \sqrt{3}a-0\cdot a)\mathbf{j}+(2a\cdot 0-0\cdot a)\mathbf{k}=(0,-2a\cdot \sqrt{3}a,0)=(0,-2\sqrt{3}{a}^2,0)$$n=AB×AS=∣∣​i2aa​j00​k03​a​∣∣​=(0⋅3​a−0⋅0)i−(2a⋅3​a−0⋅a)j+(2a⋅0−0⋅a)k=(0,−2a⋅3​a,0)=(0,−23​a2,0)

• Vector pháp tuyến mặt đáy là $\overrightarrow{n_0}=(0,0,1)$n0​​=(0,0,1).

• Góc giữa hai mặt là góc giữa hai vector pháp tuyến:

  $$\cos \alpha =\frac{\mathrm{\mid }\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_0}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overrightarrow{n_0}\mathrm{\mid }}$$cosα=∣n∣⋅∣n0​​∣∣n⋅n0​​∣​

• Tính:

  $$\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_0}=0\times 0+(-2\sqrt{3}{a}^2)\times 0+0\times 1=0$$n⋅n0​​=0×0+(−23​a2)×0+0×1=0

• Vậy $\cos \alpha =0$cosα=0, tức góc giữa mặt bên và mặt đáy là $90^{\circ }$90∘, không khớp với $\cos \alpha =\frac{1}{3}$cosα=31​.

• Giả sử $S=(a,0,h)$S=(a,0,h) với $h$h chưa biết.

• Vector $\overrightarrow{AS}=(a,0,h)$AS=(a,0,h).

• Vector pháp tuyến mặt bên:

  $$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=\mid \begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 2a& 0& 0\\ a& 0& h\end{array}\mid =(0\cdot h-0\cdot 0)\mathbf{i}-(2a\cdot h-0\cdot a)\mathbf{j}+(2a\cdot 0-0\cdot a)\mathbf{k}=(0,-2ah,0)$$n=AB×AS=∣∣​i2aa​j00​k0h​∣∣​=(0⋅h−0⋅0)i−(2a⋅h−0⋅a)j+(2a⋅0−0⋅a)k=(0,−2ah,0)

• Vector pháp tuyến mặt đáy: $\overrightarrow{n_0}=(0,0,1)$n0​​=(0,0,1).

• Góc giữa hai mặt:

  $$\cos \alpha =\frac{\mathrm{\mid }\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_0}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\overrightarrow{n_0}\mathrm{\mid }}=\frac{0}{\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }\cdot 1}=0$$cosα=∣n∣⋅∣n0​​∣∣n⋅n0​​∣​=∣n∣⋅10​=0

• Vẫn bằng 0, không thể bằng $\frac{1}{3}$31​.

• Có thể ta đã đặt sai vector $\overrightarrow{AB}$AB.

• Đề bài cho tam giác đều $SAB$SAB cạnh $2a$2a, nên $AB=2a$AB=2a.

• Đáy là hình bình hành với góc $120^{\circ }$120∘ tại $B$B, cạnh $BC=a$BC=a.

• Đặt lại:

  • $B=(0,0,0)$B=(0,0,0)
  • $C=(a,0,0)$C=(a,0,0)
  • $A$A nằm sao cho $\mathrm{\angle }ABC=120^{\circ }$∠ABC=120∘.

• Vector $\overrightarrow{BC}=(a,0,0)$BC=(a,0,0).

• Góc $\mathrm{\angle }ABC=120^{\circ }$∠ABC=120∘ là góc giữa $\overrightarrow{BA}$BA và $\overrightarrow{BC}$BC.

• Gọi $\overrightarrow{BA}=(x,y,0)$BA=(x,y,0).

• Ta có: [ \cos 120^\circ = \frac{\overrightarrow{BA} \cd........................................errorr 404
  vui lòng vào link
  vui lòng vào link bên dưới như sau: