Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm SB, SD, CD, O là giao điểm AC và BD.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BD

Tam giác đáy ABCD là hình vuông ⇒ AC ⊥ BD, AD ⊥ AC
Góc giữa AD và BD = góc tại D trong tam giác ABD:Tam giác ABD vuông tại D?
Trong hình vuông: AD ⊥ BD tại D ⇒ góc giữa AD và BD = 90°
✅ Kết luận: góc giữa AD và BD = 90°

b) Khi tam giác SAC vuông tại A và SA = a√3, tính cos(φ) với φ là góc giữa SO và NK

Bước 1: Lập tọa độ cho dễ tính

Gọi O(0,0,0) là trung điểm giao AC và BD (đáy nằm trên mặt phẳng z = 0)
Đặt A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0)
SA = a√3 ⇒ S trung điểm vuông góc với A ⇒ S(0,0,a√3)
Bước 2: Tọa độ các điểm M, N, K, O

B( a,0,0), D(0,a,0), C(a,a,0), S(0,0,a√3)
M trung điểm SB: S(0,0,a√3), B(a,0,0) ⇒ M = ((0+a)/2, (0+0)/2, (a√3+0)/2) = (a/2,0,a√3/2)
N trung điểm SD: S(0,0,a√3), D(0,a,0) ⇒ N = (0,(0+a)/2,(a√3+0)/2) = (0,a/2,a√3/2)
K trung điểm CD: C(a,a,0), D(0,a,0) ⇒ K = ((a+0)/2,(a+a)/2,(0+0)/2) = (a/2,a,0)
O là giao điểm AC và BD ⇒ O = trung điểm cả AC và BD ⇒ O = (a/2,a/2,0)
Bước 3: Vectơ SO và NK

SO = O – S = (a/2 – 0, a/2 – 0, 0 – a√3) = (a/2, a/2, -a√3)
NK = K – N = (a/2 – 0, a – a/2, 0 – a√3/2) = (a/2, a/2, -a√3/2)
Bước 4: Tính cos(φ) = (SO · NK) / (|SO|·|NK|)

Tích vô hướng SO · NK = (a/2)(a/2) + (a/2)(a/2) + (-a√3)*(-a√3/2)
= a²/4 + a²/4 + (3a²/2) = a²/2 + 3a²/2 = 2a²
|SO| = √((a/2)² + (a/2)² + (-a√3)²) = √(a²/4 + a²/4 + 3a²) = √(a²/2 + 3a²) = √(7a²/2) = a√(7/2)
|NK| = √((a/2)² + (a/2)² + (-a√3/2)²) = √(a²/4 + a²/4 + 3a²/4) = √(5a²/4) = a√(5)/2
cos(φ) = (2a²) / (a√(7/2) * a√(5)/2) = 2a² / (a² * √(7/2) * √(5)/2)
= 2 / ( (√(35/2))/2 ) = 2 / (√(35)/√2 /2 ?)
Cần rút gọn cẩn thận:

|SO| * |NK| = a√(7/2) * a√5/2 = a² * √(7/2) * √5 /2 = a² * √(35/2)/2 = (a²√35)/(2√2)?
Tính cos(φ) = (2a²) / ((a²√35)/(2√2)) = 2a² * (2√2)/(a²√35) = 4√2 / √35 = 4√2 / √35
✅ Kết luận: cos(φ) = 4√2 / √35