Đây là một bài toán hình học tổ hợp khá thú vị và đòi hỏi sự tư duy về cấu trúc đường đi trong một không gian giới hạn. Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này thông qua các bước lập luận logic sau đây:

1. Phân tích giả thiết
Hình vuông $S$: Có cạnh bằng 100, chu vi là $4 \times 100 = 400$.
Đường L: Là đường gấp khúc không tự cắt từ $A_0$ đến $A_n$.
Điều kiện bao phủ: Mọi điểm $P$ trên chu vi hình vuông đều có một điểm trên $L$ cách nó không quá $1/2$. Điều này có nghĩa là "tầm hoạt động" của đường $L$ phải bao phủ kín toàn bộ chu vi của $S$.
2. Chứng minh các điểm mốc trên $L$
Để bao phủ toàn bộ chu vi hình vuông, đường $L$ phải đi qua vùng lân cận của cả 4 cạnh.

Gọi $C$ là chu vi của hình vuông $S$. Theo giả thiết, $L$ phải "chạy" dọc hoặc cắt ngang qua các vùng lân cận của biên để đảm bảo khoảng cách đến mọi điểm $P \in C$ luôn $\leq 1/2$.

Xét hai điểm $M$ và $N$ trên chu vi hình vuông $S$ sao cho chúng là trung điểm của hai cạnh đối diện (ví dụ cạnh trái và cạnh phải). Khoảng cách giữa $M$ và $N$ là 100.

Tồn tại $X' \in L$ sao cho $d(X', M) \leq 1/2$.
Tồn tại $Y' \in L$ sao cho $d(Y', N) \leq 1/2$.
3. Thiết lập các điểm $X$ và $Y$
Để đường gấp khúc "quét" qua hết chu vi hình vuông mà vẫn là đường không tự cắt, nó phải có một lộ trình cực kỳ dài.

Xét hai điểm $A$ và $B$ trên chu vi $S$ sao cho $A$ và $B$ đối xứng nhau qua tâm hình vuông và nằm gần nhau (ví dụ: $A$ nằm ở phía trên điểm $P$, $B$ nằm ở phía dưới điểm $P$ trên cùng một cạnh sau khi $L$ đã đi hết một vòng lớn).

Tuy nhiên, cách tiếp cận hiệu quả nhất là xét các điểm gần nhau về khoảng cách hình học nhưng xa nhau về độ dài đường đi trên $L$:

Vì $L$ không tự cắt và phải bao phủ chu vi 400, $L$ phải đi một quãng đường gần như tương đương với việc đi từ một góc đến các góc còn lại.
Giả sử $L$ bắt đầu gần một điểm trên chu vi và kết thúc sau khi đã đi quanh chu vi đó.
Do khoảng cách bao phủ là $1/2$, ta có thể chọn hai điểm $X$ và $Y$ trên $L$ sao cho chúng cùng nằm trong vùng lân cận của một điểm $P$ nào đó trên chu vi $S$.
Khi đó, theo bất đẳng thức tam giác:

$d(X, Y) \leq d(X, P) + d(P, Y) \leq 1/2 + 1/2 = 1$.
4. Đánh giá độ dài đường gấp khúc giữa $X$ và $Y$
Để $L$ đi từ $X$ đến $Y$ (với $d(X, Y) \leq 1$) mà phải bao phủ toàn bộ phần còn lại của chu vi hình vuông (có độ dài gần 400), đường $L$ buộc phải chạy gần như hết các cạnh của hình vuông trước khi quay trở lại gần điểm xuất phát.

Tổng độ dài chu vi là 400.
Để đi từ một cạnh sang cạnh đối diện rồi quay lại mà không tự cắt, quãng đường ngắn nhất phải đi là khoảng $100 + 100 = 200$.
Khi trừ đi các sai số về khoảng cách bao phủ ($1/2$ ở mỗi đầu), độ dài đường gấp khúc $L$ nằm giữa $X$ và $Y$ sẽ xấp xỉ: $100 + 98 = 198$ (tùy vào vị trí của $X, Y$ đối với các cạnh).
Cụ thể, nếu $X$ gần trung điểm cạnh này và $Y$ cũng gần điểm đó nhưng $L$ phải đi vòng qua hai cạnh bên để bao phủ các điểm xa nhất ở cạnh đối diện, thì độ dài $L$ giữa $X$ và $Y$ sẽ phải $\geq 2 \times (100 - 1) = 198$.

Kết luận: Tồn tại hai điểm $X, Y \in L$ thỏa mãn $d(X, Y) \leq 1$ và độ dài cung $L$ giữa chúng không nhỏ hơn 198.