Bước 1: Tính tích phân

Xét tích phân đã cho: ∫01ex[f(x)+f′(x)] dx∫01​ex[f(x)+f′(x)]dx

Chúng ta có thể tách tích phân này thành hai phần: ∫01exf(x) dx+∫01exf′(x) dx∫01​exf(x)dx+∫01​exf′(x)dx

Đối với tích phân thứ hai, ∫01exf′(x) dx∫01​exf′(x)dx, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Công thức tích phân từng phần là: ∫u dv=uv−∫v du∫udv=uv−∫vdu

Ở đây, ta chọn: u=f(x)u=f(x)   ⟹  ⟹ du=f′(x) dxdu=f′(x)dx dv=ex dxdv=exdx   ⟹  ⟹ v=exv=ex

Áp dụng công thức, ta có: ∫01exf′(x) dx=[exf(x)]01−∫01exf′(x) dx∫01​exf′(x)dx=[exf(x)]01​−∫01​exf′(x)dx

Thay cận trên và cận dưới vào: [exf(x)]01=e1f(1)−e0f(0)[exf(x)]01​=e1f(1)−e0f(0) Do f(0)=f(1)=1f(0)=f(1)=1, ta có: e1⋅1−e0⋅1=e−1e1⋅1−e0⋅1=e−1

Do đó, tích phân thứ hai trở thành: ∫01exf′(x) dx=(e−1)−∫01exf′(x) dx∫01​exf′(x)dx=(e−1)−∫01​exf′(x)dx

Quan sát quan trọng: Lưu ý rằng biểu thức trong tích phân [f(x)+f′(x)][f(x)+f′(x)] gợi ý đến đạo hàm của một tích. Hãy xem xét đạo hàm của exf(x)exf(x): ddx[exf(x)]=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)]dxd​[exf(x)]=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)]

Vì vậy, tích phân ban đầu có thể được tính trực tiếp bằng cách tìm nguyên hàm của ddx[exf(x)]dxd​[exf(x)]: ∫01ex[f(x)+f′(x)] dx=∫01ddx[exf(x)] dx∫01​ex[f(x)+f′(x)]dx=∫01​dxd​[exf(x)]dx =[exf(x)]01=[exf(x)]01​

Thay cận trên và cận dưới vào: =e1f(1)−e0f(0)=e1f(1)−e0f(0) Do f(0)=1f(0)=1 và f(1)=1f(1)=1: =e⋅1−1⋅1=e⋅1−1⋅1 =e−1=e−1

Bước 2: Xác định giá trị của a và b

Theo đề bài, ta có: ∫01ex[f(x)+f′(x)] dx=ae+b∫01​ex[f(x)+f′(x)]dx=ae+b

Từ kết quả tính toán ở Bước 1, ta có: e−1=ae+be−1=ae+b

So sánh hai vế, ta suy ra: a=1a=1 b=−1b=−1

Bước 3: Tính giá trị của Q

Bây giờ chúng ta cần tính Q=a2018+b2018Q=a2018+b2018. Thay giá trị của aa và bb vào: Q=12018+(−1)2018Q=12018+(−1)2018

Vì bất kỳ số nào mũ chẵn đều bằng 1: 12018=112018=1 (−1)2018=1(−1)2018=1

Do đó: Q=1+1Q=1+1 Q=2Q=2

Kết luận
Giá trị của Q=a2018+b2018Q=a2018+b2018 là 2.