1. Phân tích giả thiết và tính toán các cạnh
- Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AB và SA $\perp$ BC.
- Xét tam giác vuông SAB (vuông tại A), ta có:
$A{B}^2=S{B}^2-S{A}^2={(a\sqrt{5})}^2-{(a\sqrt{2})}^2=5a^2-2a^2=3a^2\Rightarrow AB=a\sqrt{3}$
- Xét tam giác đáy ABC (vuông tại B), ta có:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={(a\sqrt{3})}^2+a^2=3a^2+a^2=4a^2\Rightarrow AC=2a$
- Góc giữa hai đường thẳng SA và CE được xác định bằng góc giữa một đường thẳng song song với SA và đường thẳng CE.
+ Trong mặt phẳng (SAB), gọi F là trung điểm của AB.
+ Vì E là trung điểm của SB và F là trung điểm của AB, nên EF là đường trung bình của tam giác SAB.
=> EF // SA và EF =$\frac{1}{2}$.SA = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Do đó: (SA, CE) = (EF, CE) = $\widehat{CEF}$ (hoặc góc bù với nó).
- Xét tam giác CEF:
+ Cạnh EF: EF = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (đã tính ở trên).
+ Cạnh FC: Xét tam giác vuông FBC (vuông tại B):
=> $F{C}^2=F{B}^2+B{C}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+a^2=\frac{3a^2}{4}+a^2=\frac{7a^2}{4}$
+ Cạnh CE: Xét tam giác vuông SBC (vuông tại B vì BC $\perp$ AB và BC $\perp$ SA => BC$\perp$(SAB)):
=> CE là trung tuyến của tam giác vuông SBC:
=> $CE=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{{(a\sqrt{5})}^2+a^2}=\frac{\sqrt{6a^2}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- Ta có EF // SA. Mà SA $\perp$ (ABC) => EF $\perp$ (ABC).
- Vì FC $\subset$ (ABC) nên EF $\perp$ FC.
Vậy tam giác EFC vuông tại F.
- Trong tam giác vuông EFC: $\cos \left(\widehat{CEF}\right)=\frac{EF}{CE}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
=> $\widehat{CEF}=\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx {54.73}^{\circ }$
Vậy: Làm tròn đến độ, góc giữa SA và CE là 55$°$.