Trong toán học, đặc biệt là trong giải tích, Định lý Lagrange (hay còn gọi là định lý giá trị trung bình - Mean Value Theorem) là một trong những định lý quan trọng nhất, đóng vai trò cầu nối giữa đạo hàm của hàm số và giá trị của chính hàm số đó.
1. Phát biểu định lý
- Nếu hàm số y = f(x) thỏa mãn hai điều kiện:
+ Liên tục trên đoạn [a; b].
+ Có đạo hàm trên khoảng (a; b).
+ Thì tồn tại ít nhất một điểm c $\in$ (a; b) sao cho:
f'(c) = $\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$
2. Ý nghĩa hình học
- Ý nghĩa hình học của định lý Lagrange rất trực quan:
+ Biểu thức $\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ chính là hệ số góc của đường thẳng (cát tuyến) đi qua hai điểm A(a; f(a)) và B(b; f(b)).
+ Biểu thức f'(c) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ c.
+ Định lý khẳng định rằng: Trên cung AB, luôn tồn tại ít nhất một điểm M(c; f(c)) mà tại đó, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng nối hai đầu mút AB.
3. Ý nghĩa vật lý
- Nếu ta coi f(t) là quãng đường đi được theo thời gian t, thì:
$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ là vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ a đến b.
f'(c) là vận tốc tức thời tại thời điểm c.
- Định lý khẳng định: Trong một chuyến đi, luôn có ít nhất một thời điểm mà vận tốc tức thời của bạn đúng bằng vận tốc trung bình của cả chuyến đi đó.
4. Hệ quả quan trọng
- Định lý Lagrange dẫn đến những kết luận cực kỳ quan trọng trong việc khảo sát hàm số:
+ Hàm hằng: Nếu f'(x) = 0 với mọi x $\in$ (a; b) thì hàm số f(x) là một hàm hằng (không đổi) trên đoạn đó.
+ Sự đồng biến/nghịch biến:
Nếu f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Nếu f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
- Công thức số gia hữu hạn: f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). Đây là công thức dùng để ước lượng sự thay đổi của hàm số.

5. Ví dụ minh họa
- Cho hàm số f(x) = x² trên đoạn [0; 2].
- Ta có f(0) = 0 và f(2) = 4.
- Hệ số góc cát tuyến: $\frac{f\left(2\right)-f\left(0\right)}{2-0}=\frac{4-0}{2}=2$.
- Đạo hàm f'(x) = 2x.
- Theo định lý Lagrange, tồn tại c $\in$ (0; 2) sao cho f'(c) = 2 => 2c = 2 => c = 1.
- Điểm c = 1 nằm trong khoảng (0; 2), thỏa mãn định lý.
Lưu ý: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange khi f(a) = f(b) (lúc đó f'(c) = 0).