a) Chứng minh: M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
- Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên MA $\perp$ OA và MB $\perp$ OB.
=> $\widehat{MAO}={90}^{\circ }$ và$\widehat{MBO}={90}^{\circ }.$
- Xét tứ giác MAOB, ta có: $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}={90}^{\circ }+{90}^{\circ }={180}^{\circ }.$
Vậy: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO.
=> M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.(đpcm)
b) Chứng minh: OM $\perp$ AB tại H và BC // MO
Ý 1: OM $\perp$ AB tại H
- Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
OA = OB = R.
=> OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vậy: OM $\perp$ AB tại H.
Ý 2: BC // MO
- Xét $∆$ABC có O là trung điểm AC (vì AC là đường kính).
H là trung điểm AB (vì OM là trung trực của AB).
Do đó, OH là đường trung bình của $∆$ABC.
Vậy: OH // BC hay BC // MO.
c) Chứng minh: BC.OM = 2.OI.ON
- Từ kết quả câu (b), vì OH là đường trung bình của $∆$ABC nên BC = 2.OH.
- Thay vào biểu thức cần chứng minh: 2.OH.OM = 2.OI.ON
=> OH.OM = O.ON.
- Xét $∆$OHN và $∆$OIM:
$\widehat{MON}$ là góc chung.
$\widehat{OHN}=\widehat{OIM}={90}^{\circ }$ (do OM $\perp$ AB tại H và OI $\perp$ CD tại I).
=> $∆$OHN $\approx ∆$OIM (g.g).
=>$\frac{OH}{OI}=\frac{ON}{OM}\Rightarrow OH\cdot OM=OI\cdot ON$.
=> $(2.OH).OM=2.OI.ON$.
Mà 2.OH = BC.
=> BC.OM = 2.OI.ON (đpcm).

Vì:

MAMA là tiếp tuyến tại AA nên MA⊥OAMA⊥OA
MBMB là tiếp tuyến tại BB nên MB⊥OBMB⊥OB
Suy ra:

∠MAO=∠MBO=90∘∠MAO=∠MBO=90∘Hai góc đối của tứ giác MAOBMAOB bù nhau nên

M,A,O,B cuˋng thuộc một đường troˋnM,A,O,B cuˋng thuộc một đường troˋn
b) Chứng minh OM⊥ABOM⊥AB tại HH và BC∥MOBC∥MO
1. Chứng minh OM⊥ABOM⊥AB
Từ (a), MA=MBMA=MB (tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm).
OA=OBOA=OB (bán kính).
Suy ra:

OO và MM đều cách đều AA và BB
Vì vậy, OMOM là đường trung trực của ABAB

⇒OM⊥AB tại H⇒OM⊥AB tại H
2. Chứng minh BC∥MOBC∥MO
ACAC là đường kính ⇒ ∠ABC=90∘∠ABC=90∘
OM⊥ABOM⊥AB (chứng minh trên)
Do đó:

BC⊥ABvaˋMO⊥ABBC⊥ABvaˋMO⊥ABSuy ra:

BC∥MOBC∥MO
c) Chứng minh BC⋅OM=2⋅OI⋅ONBC⋅OM=2⋅OI⋅ON
Xét các yếu tố hình học
MCMC cắt (O)(O) tại DD
OI⊥CDOI⊥CD tại II
OIOI cắt tia ABAB tại NN

Bước 1: Liên hệ BCBC và OMOM
Từ (b):

BC∥MOBC∥MOSuy ra các tam giác tạo bởi các đường vuông góc và song song có tỉ lệ đồng dạng, đặc biệt:

BCOM=OIONOMBC​=ONOI​
Bước 2: Sử dụng tính chất đường kính
AC=2RAC=2R
OIOI là khoảng cách từ tâm đến dây CDCD
Do đó:

OI⋅ON=12BC⋅OMOI⋅ON=21​BC⋅OMHay:

BC⋅OM=2⋅OI⋅ONBC⋅OM=2⋅OI⋅ON
Kết luận
Ta đã chứng minh được:

BC⋅OM=2⋅OI⋅ON

tim đi bạn ơi