a) Chứng minh tứ giác BEFI nội tiếp
- Ta có $\widehat{AEB}$ = 90$°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
=> $\widehat{FEB}$ = 90$°$ (vì F nằm trên đường thẳng AE).
- Theo giả thiết, CD $\perp$ AB tại I. Vì F thuộc CD, nên $\widehat{FIB}$ = 90$°$.
- Xét tứ giác BEFI, ta có:
$\widehat{FEB} + \widehat{FIB}$ = 90$°$ + 90$°$ = 180$°$
Vậy: Tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn (đường kính FB).
b) Chứng minh AC² = AE.AF
- Xét $∆$ACF và $∆$AEC, có: $\hat{A}$ là góc chung của hai tam giác.
+ Vì AB là đường trung trực của dây cung CD (do đường kính vuông góc với dây), nên cung AC =  cung AD.
+ Góc $\widehat{AEC}$ là góc nội tiếp chắn cung AC.
+ Góc $\widehat{ACD}$ (hay $\widehat{ACF}$) là góc tạo bởi dây cung CD và một phần của cát tuyến, nhưng dễ thấy hơn: 
=> $∆$ACF$\approx ∆$AEC (g.g)
=> Ta có: $\frac{AC}{AE} = \frac{AF}{AC}$
=> AC² = AE.AF (Điều phải chứng minh)

a) Chứng minh tứ giác BEFI nội tiếp
Để chứng minh một tứ giác nội tiếp, cách dễ nhất là chứng minh tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$.

Xét góc $\widehat{FIB}$: Theo giả thiết, $CD \perp AB$ tại $I$, nên $\widehat{FIB} = 90^\circ$ (vì $F$ nằm trên $CD$).
Xét góc $\widehat{AEB}$: Vì $AB$ là đường kính của đường tròn, nên góc $\widehat{AEB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Suy ra $\widehat{AEB} = 90^\circ$.
Xét tứ giác $BEFI$:

$\widehat{FIB} = 90^\circ$
$\widehat{FEB} = 90^\circ$ (vì $E, F, A$ thẳng hàng và $\widehat{AEB} = 90^\circ$)
Tổng hai góc: $\widehat{FIB} + \widehat{FEB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Kết luận: Tứ giác $BEFI$ nội tiếp đường tròn đường kính $FB$ (đpcm).

b) Chứng minh $AC^2 = AE \cdot AF$
Để chứng minh hệ thức này, chúng ta thường sử dụng phương pháp Tam giác đồng dạng.

Xét $\triangle ACF$ và $\triangle AEC$:

$\widehat{A}$ là góc chung.
Ta cần chứng minh thêm một cặp góc bằng nhau.
Chứng minh $\widehat{ACF} = \widehat{AEC}$:

Trong đường tròn đường kính $AB$, vì $AB \perp CD$ tại $I$ nên $AB$ là đường trung trực của $CD$. Suy ra cung $AC$ = cung $AD$.
Góc nội tiếp $\widehat{AEC}$ chắn cung $AC$.
Góc $\widehat{ACD}$ (hay $\widehat{ACF}$) chắn cung $AD$.
Vì cung $AC$ = cung $AD$ nên $\widehat{AEC} = \widehat{ACF}$.
Xét đồng dạng:

Xét $\triangle ACF$ và $\triangle AEC$ có:

$\widehat{FAC}$ chung.
$\widehat{ACF} = \widehat{AEC}$ (chứng minh trên).
$\Rightarrow \triangle ACF \sim \triangle AEC$ (g.g).
Lập tỉ số đồng dạng:

$\frac{AC}{AE} = \frac{AF}{AC}$
$\Rightarrow AC^2 = AE \cdot AF \text{ (đpcm)}$