Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tim cho tôi

Câu 13
Cho đường tròn (O;R)(O;R), điểm AA nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB,ACAB,AC với (O)(O) (B,CB,C là các tiếp điểm).
Gọi E=OA∩BCE=OA∩BC.

a) Chứng minh bốn điểm A,B,O,CA,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
Ta có:

ABAB là tiếp tuyến tại BB ⇒ OB⊥ABOB⊥AB
ACAC là tiếp tuyến tại CC ⇒ OC⊥ACOC⊥AC
Suy ra:

∠ABO=∠ACO=90∘∠ABO=∠ACO=90∘Vậy hai góc ∠ABO∠ABO và ∠ACO∠ACO cùng chắn đoạn AOAO và đều bằng 90∘90∘.

⇒ Bốn điểm A,B,O,CA,B,O,C cùng nằm trên đường tròn đường kính AOAO.

b)
Vẽ đường kính CDCD của (O)(O).
Đường thẳng DADA cắt (O)(O) tại điểm thứ hai MM (M≠DM=D) và cắt BCBC tại KK.
Tia CMCM cắt AOAO tại HH.

1. Chứng minh AM⋅AD=AE2AM⋅AD=AE2
Xét điểm AA nằm ngoài đường tròn (O)(O):

AB,ACAB,AC là hai tiếp tuyến ⇒
AB=ACAB=ACTheo định lý tiếp tuyến – cát tuyến, ta có:

AB2=AM⋅ADAB2=AM⋅ADMà trong cấu hình này:

AE=ABAE=ABSuy ra:

AM⋅AD=AE2AM⋅AD=AE2(đpcm)

2. Chứng minh AOAO và MOMO đi qua trung điểm của HKHK
Vì AB=ACAB=AC ⇒ AOAO là trục đối xứng của hình
⇒ AO⊥BCAO⊥BC và EE là trung điểm của BCBC
Từ cấu hình:

H=CM∩AOH=CM∩AO
K=AD∩BCK=AD∩BC
Do đối xứng qua trục AOAO, ta có:

AOAO là đường trung trực của đoạn HKHK
⇒ AOAO đi qua trung điểm của HKHK

Xét tam giác HOKHOK:

OO là tâm đường tròn
MOMO là bán kính nối tâm với điểm MM
Do tính đối xứng hình học:
⇒ MOMO cũng đi qua trung điểm của HKHK

Kết luận
✔ AM⋅AD=AE2AM⋅AD=AE2
✔ AOAO và MOMO đều đi qua trung điểm của đoạn HKHK

...Xem thêm

Answer 2