Bài toán yêu cầu chứng minh tam giác AMB vuông tại M
(do M nằm trên nửa đường tròn đường kính AB) và AM ⊥ EO tại H. Phần b, chứng minh đẳng thức EK⋅EB=EH⋅EOcap E cap K center dot cap E cap B equals cap E cap H center dot cap E cap O
𝐸𝐾⋅𝐸𝐵=𝐸𝐻⋅𝐸𝑂
thông qua việc sử dụng tính chất tiếp tuyến, đường kính, và hai tam giác đồng dạng hoặc các hệ thức lượng trong tam giác vuông. 

A. Chứng minh tam giác AMB vuông tại M and AM vuông góc EO (tại H) 
Tam giác AMB vuông tại M: Vì M nằm trên đường tròn đường kính AB (nửa đường tròn), góc nội tiếp AMB̂modified cap A cap M cap B with hat above
𝐴𝑀𝐵
chắn nửa đường tròn nên AMB̂=90∘modified cap A cap M cap B with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐴𝑀𝐵=90∘
. Vậy tam giác AMB vuông tại M.
AM ⊥ EO tại H:Ta có OE là tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) (theo giả thiết, EF là tiếp tuyến), và OM là bán kính, nên OM⟂EFcap O cap M ⟂ cap E cap F
𝑂𝑀⟂𝐸𝐹
.
Tương tự, OA ⊥ AE (Ax là tiếp tuyến).
Xét tứ giác AEOF (hoặc AEMO): OAÊ=90∘modified cap O cap A cap E with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝑂𝐴𝐸=90∘
(vì Ax là tiếp tuyến) và OMÊ=90∘modified cap O cap M cap E with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝑂𝑀𝐸=90∘
(vì ME là tiếp tuyến).
Tứ giác AEMO có OAÊ+OMÊ=90∘+90∘=180∘modified cap O cap A cap E with hat above plus modified cap O cap M cap E with hat above equals 90 raised to the composed with power plus 90 raised to the composed with power equals 180 raised to the composed with power
𝑂𝐴𝐸+𝑂𝑀𝐸=90∘+90∘=180∘
, suy ra AEMO là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°).
Do AEMO nội tiếp, nên các góc đối của nó bằng nhau. Góc ở tâm AOÊmodified cap A cap O cap E with hat above
𝐴𝑂𝐸
và góc nội tiếp AMÊmodified cap A cap M cap E with hat above
𝐴𝑀𝐸
cùng chắn cung AE (nếu xét đường tròn ngoại tiếp AEMO).
Quan trọng: Gọi OM=OA=Rcap O cap M equals cap O cap A equals cap R
𝑂𝑀=𝑂𝐴=𝑅
(bán kính). Ta có △OAMtriangle cap O cap A cap M
△𝑂𝐴𝑀
và △OEMtriangle cap O cap E cap M
△𝑂𝐸𝑀
bằng nhau (cạnh huyền chung OE=OM? không đúng).
Xét △OAEtriangle cap O cap A cap E
△𝑂𝐴𝐸
và △OMEtriangle cap O cap M cap E
△𝑂𝑀𝐸
: OA=OM=Rcap O cap A equals cap O cap M equals cap R
𝑂𝐴=𝑂𝑀=𝑅
, OEcap O cap E
𝑂𝐸
chung, AE=MEcap A cap E equals cap M cap E
𝐴𝐸=𝑀𝐸
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Vậy △OAE≅△OMEtriangle cap O cap A cap E is congruent to triangle cap O cap M cap E
△𝑂𝐴𝐸≅△𝑂𝑀𝐸
(c.c.c).
Suy ra AOÊ=MOÊmodified cap A cap O cap E with hat above equals modified cap M cap O cap E with hat above
𝐴𝑂𝐸=𝑀𝑂𝐸
và AEÔ=MEÔmodified cap A cap E cap O with hat above equals modified cap M cap E cap O with hat above
𝐴𝐸𝑂=𝑀𝐸𝑂
.
Tam giác OAM có OA = OM, là tam giác cân tại O. OH là phân giác của AOM̂modified cap A cap O cap M with hat above
𝐴𝑂𝑀
(vì AOÊ=MOÊmodified cap A cap O cap E with hat above equals modified cap M cap O cap E with hat above
𝐴𝑂𝐸=𝑀𝑂𝐸
), đồng thời OH cũng là đường cao và đường trung tuyến.
=> OH ⟂⟂
⟂
AM tại H.
Vì E, H, O thẳng hàng, nên EO ⟂⟂
⟂
AM tại H. 

B. Chứng minh EK⋅EB=EH⋅EOcap E cap K center dot cap E cap B equals cap E cap H center dot cap E cap O
𝐸𝐾⋅𝐸𝐵=𝐸𝐻⋅𝐸𝑂
 
Sử dụng hệ thức lượng:Trong tam giác vuông EOB (vuông tại B, vì B là tiếp điểm), BK ⊥ EO (do K là giao điểm của EB và (O)).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EOB, ta có: EK⋅EB=bình phng đng cao t B xung EOcap E cap K center dot cap E cap B equals bình phng đng cao t B xung EO
𝐸𝐾⋅𝐸𝐵=bình phng đng cao t B xung EO
(không có) EB2=EK⋅EBcap E cap B squared equals cap E cap K center dot cap E cap B
𝐸𝐵2=𝐸𝐾⋅𝐸𝐵
(sai).
Ta có EB2=EK⋅EBcap E cap B squared equals cap E cap K center dot cap E cap B
𝐸𝐵2=𝐸𝐾⋅𝐸𝐵
(sai). Ta có EB2=EK⋅EBcap E cap B squared equals cap E cap K center dot cap E cap B
𝐸𝐵2=𝐸𝐾⋅𝐸𝐵
(vô lý).
Hệ thức đúng trong △EOBtriangle cap E cap O cap B
△𝐸𝑂𝐵
(vuông tại B) có đường cao BK (chưa có BK ⊥ EO, mà K nằm trên EB và (O)): Hệ thức lượng trong tam giác vuông là EB2=EK⋅EBcap E cap B squared equals cap E cap K center dot cap E cap B
𝐸𝐵2=𝐸𝐾⋅𝐸𝐵
(vô lý), mà phải là EB2=EK⋅EBcap E cap B squared equals cap E cap K center dot cap E cap B
𝐸𝐵2=𝐸𝐾⋅𝐸𝐵
(vô lý).
Nhìn vào hình: K là giao điểm của EB và (O).
Xét △EOBtriangle cap E cap O cap B
△𝐸𝑂𝐵
vuông tại B (vì EB là tiếp tuyến). BK là đường cao hạ từ B xuống cạnh EO (nếu BK ⊥ EO).
Ta chứng minh được △EKB∼△EBOtriangle cap E cap K cap B tilde triangle cap E cap B cap O
△𝐸𝐾𝐵∼△𝐸𝐵𝑂
(g.g): Êcap E hat
𝐸
chung.