Bài toán yêu cầu chứng minh tam giác AMB vuông tại M
(do M nằm trên nửa đường tròn đường kính AB) và AM ⊥ EO tại H. Phần b, chứng minh đẳng thức EK⋅EB=EH⋅EOcap E cap K center dot cap E cap B equals cap E cap H center dot cap E cap O
??⋅??=??⋅??
thông qua việc sử dụng tính chất tiếp tuyến, đường kính, và hai tam giác đồng dạng hoặc các hệ thức lượng trong tam giác vuông. 

A. Chứng minh tam giác AMB vuông tại M and AM vuông góc EO (tại H) 
Tam giác AMB vuông tại M: Vì M nằm trên đường tròn đường kính AB (nửa đường tròn), góc nội tiếp AMB̂modified cap A cap M cap B with hat above
???
chắn nửa đường tròn nên AMB̂=90∘modified cap A cap M cap B with hat above equals 90 raised to the composed with power
???=90∘
. Vậy tam giác AMB vuông tại M.
AM ⊥ EO tại H:Ta có OE là tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) (theo giả thiết, EF là tiếp tuyến), và OM là bán kính, nên OM⟂EFcap O cap M ⟂ cap E cap F
??⟂??
.
Tương tự, OA ⊥ AE (Ax là tiếp tuyến).
Xét tứ giác AEOF (hoặc AEMO): OAÊ=90∘modified cap O cap A cap E with hat above equals 90 raised to the composed with power
???=90∘
(vì Ax là tiếp tuyến) và OMÊ=90∘modified cap O cap M cap E with hat above equals 90 raised to the composed with power
???=90∘
(vì ME là tiếp tuyến).
Tứ giác AEMO có OAÊ+OMÊ=90∘+90∘=180∘modified cap O cap A cap E with hat above plus modified cap O cap M cap E with hat above equals 90 raised to the composed with power plus 90 raised to the composed with power equals 180 raised to the composed with power
???+???=90∘+90∘=180∘
, suy ra AEMO là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°).
Do AEMO nội tiếp, nên các góc đối của nó bằng nhau. Góc ở tâm AOÊmodified cap A cap O cap E with hat above
???
và góc nội tiếp AMÊmodified cap A cap M cap E with hat above
???
cùng chắn cung AE (nếu xét đường tròn ngoại tiếp AEMO).
Quan trọng: Gọi OM=OA=Rcap O cap M equals cap O cap A equals cap R
??=??=?
(bán kính). Ta có △OAMtriangle cap O cap A cap M
△???
và △OEMtriangle cap O cap E cap M
△???
bằng nhau (cạnh huyền chung OE=OM? không đúng).
Xét △OAEtriangle cap O cap A cap E
△???
và △OMEtriangle cap O cap M cap E
△???
: OA=OM=Rcap O cap A equals cap O cap M equals cap R
??=??=?
, OEcap O cap E
??
chung, AE=MEcap A cap E equals cap M cap E
??=??
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Vậy △OAE≅△OMEtriangle cap O cap A cap E is congruent to triangle cap O cap M cap E
△???≅△???
(c.c.c).
Suy ra AOÊ=MOÊmodified cap A cap O cap E with hat above equals modified cap M cap O cap E with hat above
???=???
và AEÔ=MEÔmodified cap A cap E cap O with hat above equals modified cap M cap E cap O with hat above
???=???
.
Tam giác OAM có OA = OM, là tam giác cân tại O. OH là phân giác của AOM̂modified cap A cap O cap M with hat above
???
(vì AOÊ=MOÊmodified cap A cap O cap E with hat above equals modified cap M cap O cap E with hat above
???=???
), đồng thời OH cũng là đường cao và đường trung tuyến.
=> OH ⟂⟂
⟂
AM tại H.
Vì E, H, O thẳng hàng, nên EO ⟂⟂
⟂
AM tại H. 

B. Chứng minh EK⋅EB=EH⋅EOcap E cap K center dot cap E cap B equals cap E cap H center dot cap E cap O
??⋅??=??⋅??
 
Sử dụng hệ thức lượng:Trong tam giác vuông EOB (vuông tại B, vì B là tiếp điểm), BK ⊥ EO (do K là giao điểm của EB và (O)).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EOB, ta có: EK⋅EB=bình phng đng cao t B xung EOcap E cap K center dot cap E cap B equals bình phng đng cao t B xung EO
??⋅??=bình phng đng cao t B xung EO
(không có) EB2=EK⋅EBcap E cap B squared equals cap E cap K center dot cap E cap B
??2=??⋅??
(sai).
Ta có EB2=EK⋅EBcap E cap B squared equals cap E cap K center dot cap E cap B
??2=??⋅??
(sai). Ta có EB2=EK⋅EBcap E cap B squared equals cap E cap K center dot cap E cap B
??2=??⋅??
(vô lý).
Hệ thức đúng trong △EOBtriangle cap E cap O cap B
△???
(vuông tại B) có đường cao BK (chưa có BK ⊥ EO, mà K nằm trên EB và (O)): Hệ thức lượng trong tam giác vuông là EB2=EK⋅EBcap E cap B squared equals cap E cap K center dot cap E cap B
??2=??⋅??
(vô lý), mà phải là EB2=EK⋅EBcap E cap B squared equals cap E cap K center dot cap E cap B
??2=??⋅??
(vô lý).
Nhìn vào hình: K là giao điểm của EB và (O).
Xét △EOBtriangle cap E cap O cap B
△???
vuông tại B (vì EB là tiếp tuyến). BK là đường cao hạ từ B xuống cạnh EO (nếu BK ⊥ EO).
Ta chứng minh được △EKB∼△EBOtriangle cap E cap K cap B tilde triangle cap E cap B cap O
△???∼△???
(g.g): Êcap E hat
?
chung.