1. Lịch sử vấn đề 
Định lý này được nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat đưa ra vào khoảng năm 1637 dưới dạng một ghi chú bên lề cuốn sách Arithmetica. Ông viết rằng mình có một "chứng minh thực sự tuyệt vời" nhưng lề sách quá hẹp không đủ chỗ để ghi ra. Trong suốt hơn 350 năm, các nhà toán học vĩ đại nhất thế giới (như Euler, Legendre, Gauss, Cauchy...) đều cố gắng chứng minh nhưng chỉ thành công với một số trường hợp riêng biệt của n (như n=3,4,5,7). 

2. Quá trình chứng minh 
Mãi đến năm 1994, nhà toán học người Anh Andrew Wiles mới công bố lời giải hoàn chỉnh cho định lý này. 
Chứng minh của Andrew Wiles cực kỳ phức tạp (dài hơn 100 trang giấy) và không sử dụng các phương pháp số học sơ cấp mà Fermat có thể đã biết. Thay vào đó, ông đã sử dụng các kiến thức toán học hiện đại vô cùng cao cấp: 
Đường cong Elliptic (Elliptic Curves): Liên hệ bài toán với các phương trình bậc ba.
Dạng Modulo (Modular Forms): Một loại hàm số phức có tính đối xứng cực cao.
Giả thuyết Taniyama-Shimura: Wiles đã chứng minh được một phần quan trọng của giả thuyết này, từ đó gián tiếp chứng minh Định lý lớn Fermat bằng phương pháp phản chứng. 

3. Ý tưởng chính của phương pháp phản chứng (Gerhard Frey & Andrew Wiles) 
Giả sử tồn tại các số nguyên dương a,b,c sao cho an+bn=cn với n>2.
Người ta chứng minh được rằng nếu bộ số này tồn tại, ta có thể xây dựng một đường cong Elliptic cực kỳ "kỳ dị" (gọi là đường cong Frey).
Tuy nhiên, theo lý thuyết về các dạng Modulo, một đường cong kỳ dị như vậy không thể tồn tại.
Vì có sự mâu thuẫn này, giả sử ban đầu là sai. Vậy không tồn tại các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn phương trình. 

Kết luận 
Vì đây là một trong những định lý khó nhất lịch sử toán học, việc chứng minh nó bằng các công thức sơ cấp (kiến thức phổ thông) là không thể. Bạn có thể thừa nhận định lý này như một thành tựu vĩ đại của toán học hiện đại đã được Andrew Wiles xác nhận vào năm 1994.