1. Phân tích giả thiết
Đường tròn $(O)$ có bán kính $R = 3$ cm.
$MA, MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$.
$AC$ là đường kính, $MDC$ là cát tuyến.
$\widehat{AOB} = 120^\circ$.

Câu a) Chứng minh $OM \perp AB$ và 4 điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc một đường tròn
Ý 1: Chứng minh $OM \perp AB$

Ta có $OA = OB = R$ nên điểm $O$ cách đều hai đầu mút $A, B$.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, $MA = MB$ nên điểm $M$ cách đều $A, B$.
$\Rightarrow OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
$\Rightarrow OM \perp AB$ tại $H$.
Ý 2: Chứng minh 4 điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc một đường tròn

Vì $MA$ là tiếp tuyến tại $A$ nên $\widehat{MAO} = 90^\circ$. Điểm $A$ thuộc đường tròn đường kính $MO$.
Vì $MB$ là tiếp tuyến tại $B$ nên $\widehat{MBO} = 90^\circ$. Điểm $B$ thuộc đường tròn đường kính $MO$.
Vậy 4 điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.

Câu b) Chứng minh $MA^2 = MD \cdot MC$
Xét đường tròn $(O)$, $\widehat{MAD}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $AD$.
$\widehat{ACD}$ là góc nội tiếp chắn cung $AD$.
$\Rightarrow \widehat{MAD} = \widehat{ACD}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}$ số đo cung $AD$).
Xét $\triangle MAD$ và $\triangle MCA$ có:

$\widehat{M}$ là góc chung.
$\widehat{MAD} = \widehat{MCA}$ (chứng minh trên).
$\Rightarrow \triangle MAD \sim \triangle MCA$ (theo trường hợp g.g).
Tỉ số đồng dạng: $\frac{MA}{MC} = \frac{MD}{MA} \Rightarrow \mathbf{MA^2 = MD \cdot MC}$ (đpcm).

Câu c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $AB$ và cung nhỏ $AB$
Diện tích hình viên phân ($S_{vp}$) bằng diện tích hình quạt tròn $OAB$ ($S_q$) trừ đi diện tích tam giác $OAB$ ($S_{\triangle}$).

1. Tính diện tích hình quạt tròn $OAB$:

Với $R = 3$ cm và số đo cung $n = 120^\circ$:

$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = 3\pi \approx 9,42 \text{ (cm}^2)$
2. Tính diện tích tam giác $OAB$:

Vì $OM$ là đường trung trực của $AB$ nên $H$ là trung điểm $AB$ và $\widehat{AOH} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} = 60^\circ$.
Trong tam giác vuông $OAH$:

$AH = OA \cdot \sin(60^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1,5\sqrt{3} \text{ (cm)}$.
$OH = OA \cdot \cos(60^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5 \text{ (cm)}$.
Độ dài dây $AB = 2 \cdot AH = 3\sqrt{3} \text{ (cm)}$.
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 1,5 \approx 3,90 \text{ (cm}^2)$.
3. Diện tích hình viên phân:

$S_{vp} = S_q - S_{\triangle OAB} = 3\pi - 2,25\sqrt{3} \approx 9,42 - 3,90 = 5,52 \text{ (cm}^2)$
Làm tròn đến hàng phần mười, ta được: $S_{vp} \approx 5,5 \text{ cm}^2$.