1. Phân tích giả thiết:
Đường tròn $(O; 3\text{cm})$.
$MA, MB$ là tiếp tuyến ($A, B$ là tiếp điểm).
$H = OM \cap AB$.
Đường kính $AC$, cát tuyến $MDC$.
$\widehat{AOB} = 120^\circ$.

Câu a) Chứng minh $OM \perp AB$ và 4 điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc một đường tròn.
Ý 1: Chứng minh $OM \perp AB$

Ta có $OA = OB = R = 3\text{cm}$ nên $O$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, $MA = MB$ nên $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Vì $O$ và $M$ cùng thuộc đường trung trực của $AB$, nên $OM$ là đường trung trực của $AB$.
Suy ra $OM \perp AB$ tại $H$.
Ý 2: Chứng minh $M, A, O, B$ cùng thuộc một đường tròn

Vì $MA$ là tiếp tuyến tại $A$ nên $OA \perp MA \Rightarrow \widehat{MAO} = 90^\circ$. Điểm $A$ thuộc đường tròn đường kính $MO$.
Vì $MB$ là tiếp tuyến tại $B$ nên $OB \perp MB \Rightarrow \widehat{MBO} = 90^\circ$. Điểm $B$ thuộc đường tròn đường kính $MO$.
Vậy 4 điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.

Câu b) Chứng minh $MA^2 = MD \cdot MC$
Xét đường tròn $(O)$, ta có $\widehat{MAD}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $AD$.
$\widehat{ACD}$ (hay $\widehat{MCA}$) là góc nội tiếp chắn cung $AD$.
Suy ra $\widehat{MAD} = \widehat{MCA}$.
Xét $\triangle MAD$ và $\triangle MCA$ có:

$\widehat{M}$ chung.
$\widehat{MAD} = \widehat{MCA}$ (chứng minh trên).
Do đó $\triangle MAD \sim \triangle MCA$ (g.g).
Suy ra tỉ số đồng dạng: $\frac{MA}{MC} = \frac{MD}{MA} \Rightarrow \mathbf{MA^2 = MD \cdot MC}$ (đpcm).

Câu c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $AB$ và cung nhỏ $AB$.
Hình viên phân được tính bằng diện tích hình quạt tròn $OAB$ trừ đi diện tích tam giác $OAB$.

1. Diện tích hình quạt tròn $OAB$ ($S_q$):

Công thức: $S_q = \frac{\pi R^2 n}{360}$ với $n = \widehat{AOB} = 120^\circ$ và $R = 3\text{cm}$.

$S_q = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = \frac{9\pi}{3} = 3\pi \approx 9,425 \text{ (cm}^2)$
2. Diện tích tam giác $OAB$ ($S_{\triangle}$):

Vì $OM$ là phân giác của $\widehat{AOB}$ (tính chất tiếp tuyến), nên $\widehat{AOH} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Trong tam giác vuông $OAH$ tại $H$:

$AH = OA \cdot \sin 60^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1,5\sqrt{3}$.
$OH = OA \cdot \cos 60^\circ = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5$.
Độ dài dây $AB = 2 \cdot AH = 3\sqrt{3}$.
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 1,5 = 2,25\sqrt{3} \approx 3,897 \text{ (cm}^2)$.
3. Diện tích hình viên phân ($S_{vp}$):

$S_{vp} = S_q - S_{\triangle OAB} \approx 9,425 - 3,897 = 5,528$
Làm tròn đến hàng phần mười: $S_{vp} \approx 5,5 \text{ cm}^2$.

Kết quả: Diện tích hình viên phân là $5,5 \text{ cm}^2$.