1. Phân tích dữ kiện ban đầu
Gọi chiều cao của vật \(AB\) là \(h\).
Ở vị trí ban đầu (\(1\)), vật tạo ảnh thật \(A_{1}B_{1}\) cao \(2\text{ cm}\). Do là ảnh thật nên độ phóng đại \(k_1 < 0\):
\(k_{1}=\frac{f}{f-d_{1}}=-\frac{2}{h}\quad (1)\)
Khi dời vật lại gần thấu kính thêm \(45\text{ cm}\), vị trí mới của vật là \(d_2 = d_1 - 45\). Lúc này hệ vẫn cho ảnh thật \(A_{2}B_{2}\) cao \(20\text{ cm}\), suy ra độ phóng đại \(k_2 < 0\):
\(k_{2}=\frac{f}{f-d_{2}}=\frac{f}{f-(d_{1}-45)}=-\frac{20}{h}\quad (2)\)

2. Thiết lập tỉ lệ độ phóng đại
Lập tỉ số giữa \(k_{2}\) và \(k_{1}\) từ phương trình \((1)\) và \((2)\):
\(\frac{k_{2}}{k_{1}}=\frac{-\frac{20}{h}}{-\frac{2}{h}}=10\implies \frac{f-d_{1}}{f-d_{1}+45}=10\)
Giải phương trình trên để tìm mối quan hệ giữa \(d_{1}\) và \(f\):
\(f-d_{1}=10(f-d_{1}+45)\)
\(f-d_{1}=10(f-d_{1})+450\implies -9(f-d_{1})=450\)
\(f-d_{1}=-50\implies d_{1}-f=50\quad (3)\)

3. Sử dụng khoảng cách hai ảnh
Khi dịch chuyển vật lại gần thấu kính hội tụ (nhưng vẫn nằm ngoài khoảng tiêu cự để cho ảnh thật), ảnh thật sẽ dịch chuyển ra xa thấu kính hơn (\(d_2' > d_1'\)).
Theo đề bài, khoảng cách giữa hai ảnh là \(18\text{ cm}\):
\(d_{2}^{\prime }-d_{1}^{\prime }=18\)
Áp dụng công thức vị trí ảnh \(d' = \frac{d \cdot f}{d - f}\), ta có:
\(\frac{(d_{1}-45)f}{d_{1}-45-f}-\frac{d_{1}\cdot f}{d_{1}-f}=18\)
Thay mối liên hệ \((d_1 - f) = 50\) từ phương trình \((3)\) vào hệ thức trên:
\(\frac{(d_{1}-45)f}{50-45}-\frac{d_{1}\cdot f}{50}=18\)
\(\frac{(d_{1}-45)f}{5}-\frac{d_{1}\cdot f}{50}=18\)
Nhân cả hai vế với \(50\) để quy đồng mẫu số:
\(10(d_{1}-45)f-d_{1}\cdot f=900\)
\(10d_{1}\cdot f-450f-d_{1}\cdot f=900\)
\(9d_{1}\cdot f-450f=900\implies 9f(d_{1}-50)=900\implies f(d_{1}-50)=100\quad (4)\)

4. Tính toán kết quả cuối cùng
Từ phương trình \((3)\), ta suy ra \(d_1 - 50 = f\). Thay giá trị này vào phương trình \((4)\):
\(f\cdot f=100\implies f^{2}=100\)
Vì đây là thấu kính hội tụ nên tiêu cự phải có giá trị dương (\(f > 0\)):
\(f=10\text{\ cm}\)
Thay \(f = 10\text{ cm}\) ngược lại vào phương trình \((3)\) để tìm vị trí ban đầu của vật:
\(d_{1}=f+50=10+50=60\text{\ cm}\)

✅ Kết luận
Tiêu cự của thấu kính hội tụ là \(10\text{ cm}\) và vị trí ban đầu của vật \(AB\) cách thấu kính một khoảng \(60\text{ cm}\).