a) Tính độ dài BC, AH và góc B
Tính độ dài BC:
Độ dài cạnh huyền BC được tính bằng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC: BC=AB2+AC2=52+122=25+144=169=13 cmcap B cap C equals the square root of cap A cap B squared plus cap A cap C squared end-root equals the square root of 5 squared plus 12 squared end-root equals the square root of 25 plus 144 end-root equals the square root of 169 end-root equals 13 cm
𝐵𝐶=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2√=52+122√=25+144√=169√=13 cm
.
Tính độ dài AH:
Độ dài đường cao AH được tính bằng công thức diện tích tam giác vuông: AH=AB⋅ACBC=5⋅1213=6013 cmcap A cap H equals the fraction with numerator cap A cap B center dot cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction equals the fraction with numerator 5 center dot 12 and denominator 13 end-fraction equals 60 over 13 end-fraction cm
𝐴𝐻=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶𝐵𝐶=5⋅1213=6013 cm
.
 
Tính góc B: . Góc B được tính bằng hàm sin trong tam giác vuông ABC: sinB=ACBC=1213sine cap B equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction equals 12 over 13 end-fraction
sin𝐵=𝐴𝐶𝐵𝐶=1213
.
 
Do đó, B=arcsin(1213)≈67.38∘cap B equals arc sine open paren 12 over 13 end-fraction close paren is approximately equal to 67.38 raised to the exponent composed with end-exponent
𝐵=arcsin1213≈67.38∘
.
b) Chứng minh AD⋅AB=AE⋅ACcap A cap D center dot cap A cap B equals cap A cap E center dot cap A cap C
𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=𝐴𝐸⋅𝐴𝐶
Xét các tam giác vuông:
Trong tam giác vuông AHB có HD là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có AD⋅AB=AH2cap A cap D center dot cap A cap B equals cap A cap H squared
𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=𝐴𝐻2
.
Xét các tam giác vuông:
Trong tam giác vuông AHC có HE là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có AE⋅AC=AH2cap A cap E center dot cap A cap C equals cap A cap H squared
𝐴𝐸⋅𝐴𝐶=𝐴𝐻2
.
Kết luận:
Từ hai đẳng thức trên, suy ra AD⋅AB=AE⋅ACcap A cap D center dot cap A cap B equals cap A cap E center dot cap A cap C
𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=𝐴𝐸⋅𝐴𝐶
.
 
c) Chứng minh sinAGB⋅cosABC=HKCGsine cap A cap G cap B center dot cosine cap A cap B cap C equals the fraction with numerator cap H cap K and denominator cap C cap G end-fraction
sin𝐴𝐺𝐵⋅cos𝐴𝐵𝐶=𝐻𝐾𝐶𝐺
Xác định các góc:
sinAGB=AKAGsine cap A cap G cap B equals the fraction with numerator cap A cap K and denominator cap A cap G end-fraction
sin𝐴𝐺𝐵=𝐴𝐾𝐴𝐺
(trong tam giác vuông AKG) và cosABC=ABBCcosine cap A cap B cap C equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap B cap C end-fraction
cos𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵𝐵𝐶
(trong tam giác vuông ABC).
Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp:
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có ba góc vuông), suy ra AH=DEcap A cap H equals cap D cap E
𝐴𝐻=𝐷𝐸
.
Sử dụng định lý Thales đảo:
Do HD∥ACcap H cap D is parallel to cap A cap C
𝐻𝐷∥𝐴𝐶
và HE∥ABcap H cap E is parallel to cap A cap B
𝐻𝐸∥𝐴𝐵
, có các tỉ lệ thức liên quan đến các đoạn thẳng.
Thiết lập mối quan hệ:
Mối quan hệ giữa các đoạn thẳng HK, CG, AK, AG, AB, BC cần được thiết lập thông qua các tam giác đồng dạng hoặc các hệ thức lượng.
Biến đổi biểu thức:
Biểu thức sinAGB⋅cosABC=AKAG⋅ABBCsine cap A cap G cap B center dot cosine cap A cap B cap C equals the fraction with numerator cap A cap K and denominator cap A cap G end-fraction center dot the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap B cap C end-fraction
sin𝐴𝐺𝐵⋅cos𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐾𝐴𝐺⋅𝐴𝐵𝐵𝐶
cần được biến đổi để chứng minh bằng HKCGthe fraction with numerator cap H cap K and denominator cap C cap G end-fraction
𝐻𝐾𝐶𝐺
.
 
Kết quả cuối cùng
a) BC=13 cmcap B cap C equals 13 cm
𝐵𝐶=13 cm
, AH=6013 cmcap A cap H equals 60 over 13 end-fraction cm
𝐴𝐻=6013 cm
, B=arcsin(1213)cap B equals arc sine open paren 12 over 13 end-fraction close paren
𝐵=arcsin1213
.
b) AD⋅AB=AE⋅ACcap A cap D center dot cap A cap B equals cap A cap E center dot cap A cap C
𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=𝐴𝐸⋅𝐴𝐶
được chứng minh thông qua AH2cap A cap H squared
𝐴𝐻2
.
c) sinAGB⋅cosABC=HKCGsine cap A cap G cap B center dot cosine cap A cap B cap C equals the fraction with numerator cap H cap K and denominator cap C cap G end-fraction
sin𝐴𝐺𝐵⋅cos𝐴𝐵𝐶=𝐻𝐾𝐶𝐺
được chứng minh bằng cách sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông và các tính chất hình học.