Phân tích Đề bài: ABCD là hình bình hành có ∠A > 90° (suy ra ∠C > 90°, ∠B < 90°, ∠D < 90°) và AB > AD. AH là đường cao kẻ từ A xuống cạnh CD (AH ⊥ CD tại H). Do ∠D < 90°, điểm H nằm trên đoạn CD. M là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AD (HM ⊥ AD). N là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AC (HN ⊥ AC). Q là giao điểm của đường thẳng MH và đường thẳng BC. K là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng NH. P là giao điểm của đường thẳng AH và đường thẳng BC.

a) Chứng minh A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn và MN = AH ⋅ sin(DAC)

Chứng minh A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn: Xét hai tam giác vuông: ΔHMA vuông tại M (do HM ⊥ AD) và ΔHNA vuông tại N (do HN ⊥ AC). Ta thấy rằng hai điểm M và N cùng nhìn đoạn thẳng AH dưới một góc vuông (∠HMA = 90° và ∠HNA = 90°). Theo tính chất điểm nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông, các điểm M và N, cùng với hai điểm mút của đoạn thẳng AH là A và H, sẽ cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là AH. Do đó, bốn điểm A, M, H, N đồng viên (cùng thuộc một đường tròn).
Chứng minh MN = AH ⋅ sin(DAC): Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường kính là AH, đoạn thẳng MN là một dây cung. Góc nội tiếp chắn cung MN là góc ∠MAN. Vì M nằm trên AD và N nằm trên AC, nên góc ∠MAN chính là góc ∠DAC (góc giữa hai đường chéo AD và AC). Áp dụng định lý về đường kính và dây cung trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN, ta có: độ dài dây MN bằng đường kính nhân với sin của góc nội tiếp chắn dây đó. Hay: MN = AH ⋅ sin(∠MAN) Vì ∠MAN = ∠DAC, nên ta có: MN = AH ⋅ sin(DAC).
b) Tia AH cắt BC tại P. Chứng minh QH = PC / cot(HPQ) + cot(ABC)

Phần này phức tạp hơn, liên quan đến các tỉ số lượng giác và tính chất của hình bình hành.

Phân tích các góc và tỉ lệ:Tính chất hình bình hành:AD || BC.
∠ABC = ∠ADC. Gọi góc này là β.
∠BAD = ∠BCD. Gọi góc này là α. Ta có α + β = 180°. Vì ∠A > 90°, nên α > 90° và β < 90°.
Quan hệ về góc liên quan đến AH:AH ⊥ CD và CD || AB, nên AH cũng vuông góc với đường thẳng chứa AB. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa AH ⊥ AB, trừ khi đó là hình chữ nhật.
Trong tam giác vuông AHD (vì AH ⊥ CD), ta có: ∠HAD = 90° - ∠D = 90° - β.
Do AD || BC, khi AH cắt BC tại P, ta có góc giữa AH và BC. Xét đường thẳng AH là một cắt tuyến với hai đường thẳng song song AD và BC. Góc ở đỉnh P tạo bởi AH và BC là ∠APB. Ta có ∠APB = ∠HAD (so le trong nếu xét đường thẳng AH cắt AD và BC, hoặc đồng vị với góc tạo bởi AH kéo dài và AD). Tuy nhiên, P nằm trên BC. Ta xét tam giác ABP. ∠ABP = ∠ABC = β. Góc ∠APB trong tam giác ABP sẽ liên quan đến ∠HAD.
Do AD || BC, ta có ∠APH = ∠HAD (so le trong nếu P ở phía bên kia A so với BC). Ở đây AH cắt BC tại P. Ta có thể xem xét tam giác ABP. Góc ngoài tại P của tam giác này hoặc góc trong ∠APB liên quan đến ∠HAD.
Quan sát hình vẽ hoặc suy luận: P là giao điểm của