Bài toán này liên quan đến nguyên lý về áp suất trong bình thông nhau. Chúng ta sẽ giải quyết từng phần.

Thông tin đã cho:

Diện tích nhánh 1: $S_1 = 100 \text{ cm}^2 = 0.01 \text{ m}^2$
Diện tích nhánh 2: $S_2 = 80 \text{ cm}^2 = 0.008 \text{ m}^2$
Độ chênh lệch mực nước ban đầu: $h = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$
Khối lượng riêng của nước: $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$
Gia tốc trọng trường: $g$ (chúng ta có thể để nguyên $g$ vì nó sẽ tự triệt tiêu trong các phép tính áp suất).
Phân tích câu hỏi phụ "trên mặt có đặt các pít tông mỏng khối lượng m3=3cm": Cụm từ "m3=3cm" có vẻ là một lỗi đánh máy, thường thì khối lượng được đo bằng kilogram (kg). Giả định hợp lý nhất để bài toán có lời giải dương cho phần b là khối lượng của một trong hai pít-tông là $3 \text{ kg}$. Dựa trên kết quả tính toán thử nghiệm, nếu giả định $m_2 = 3 \text{ kg}$ (khối lượng pít-tông trên nhánh $S_2$), chúng ta sẽ thu được một giá trị $m$ dương ở phần b. Vì vậy, chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán với giả định này.

a, Tính $m_1, m_2$
Ở trạng thái ban đầu, mực chất lỏng hai bên chênh nhau $h = 5 \text{ cm}$. Áp suất tại cùng một độ cao trong chất lỏng phải bằng nhau. Gọi $P_1 = \frac{m_1 g}{S_1}$ là áp suất do pít-tông $m_1$ gây ra và $P_2 = \frac{m_2 g}{S_2}$ là áp suất do pít-tông $m_2$ gây ra.

Nếu mực nước ở nhánh $S_2$ thấp hơn nhánh $S_1$ một đoạn $h$, điều đó có nghĩa là áp suất ở nhánh $S_2$ lớn hơn. Do đó, phương trình cân bằng áp suất tại mặt phẳng ngang qua mực nước thấp hơn (nhánh $S_2$) là: $P_1 + \rho g h = P_2$ $\frac{m_1 g}{S_1} + \rho g h = \frac{m_2 g}{S_2}$

Chia cả hai vế cho $g$: $\frac{m_1}{S_1} + \rho h = \frac{m_2}{S_2}$

Theo giả định của chúng ta: $m_2 = 3 \text{ kg}$. Thay các giá trị vào phương trình: $\frac{m_1}{0.01} + 1000 \times 0.05 = \frac{3}{0.008}$ $\frac{m_1}{0.01} + 50 = 375$ $\frac{m_1}{0.01} = 375 - 50 = 325$ $m_1 = 325 \times 0.01 = 3.25 \text{ kg}$

Vậy, khối lượng của các pít-tông là: $m_1 = 3.25 \text{ kg}$ $m_2 = 3 \text{ kg}$

Kiểm tra lại độ chênh lệch: $P_1 = \frac{3.25g}{0.01} = 325g$; $P_2 = \frac{3g}{0.008} = 375g$. Vì $P_2 > P_1$, nên mực nước ở nhánh $S_2$ thấp hơn nhánh $S_1$. Độ chênh lệch áp suất: $P_2 - P_1 = (375 - 325)g = 50g$. Độ chênh lệch áp suất do cột nước: $\rho g h = 1000 \times g \times 0.05 = 50g$. Hai giá trị này khớp nhau, vậy kết quả là hợp lý.

b, Tìm khối lượng $m$ của một quả cân đặt pít tông lớn (S1) để mực nước ngang bằng nhau
Để mực chất lỏng hai bên ngang bằng nhau, áp suất tác dụng lên mặt nước ở hai nhánh phải bằng nhau. Gọi $m_{1, \text{mới}} = m_1 + m$ là tổng khối lượng trên nhánh $S_1$. Ta có: $\frac{(m_1 + m)g}{S_1} = \frac{m_2 g}{S_2}$ $\frac{m_1 + m}{S_1} = \frac{m_2}{S_2}$

Thay các giá trị đã tìm được ở phần a ($m_1 = 3.25 \text{ kg}, m_2 = 3 \text{ kg}$): $\frac{3.25 + m}{0.01} = \frac{3}{0.008}$ $\frac{3.25 + m}{0.01} = 375$ $3.25 + m = 375 \times 0.01$ $3.25 + m = 3.75$ $m = 3.75 - 3.25 = 0.5 \text{ kg}$

Vậy, cần đặt một quả cân có khối lượng $m = 0.5 \text{ kg}$ lên pít-tông lớn ($S_1$) để mực nước hai bên ngang bằng nhau.

c, Nếu đặt $m$ lên $m_2$ thì mực chất lỏng hai bên chênh nhau bao nhiêu?
Giờ chúng ta đặt khối lượng $m = 0.5 \text{ kg}$ (tìm được ở phần b) lên pít-tông $m_2$. Khối lượng trên nhánh $S_1$ vẫn là $m_1 = 3.25 \text{ kg}$. Khối lượng trên nhánh $S_2$ mới là $m_{2, \text{mới}} = m_2 + m = 3 + 0.5 = 3.5 \text{ kg}$.

Tính áp suất mới trên mỗi nhánh: $P_{1, \text{mới}} = \frac{m_1 g}{S_1} = \frac{3.25 g}{0.01} = 325g$ $P_{2, \text{mới}} = \frac{m_{2, \text{mới}} g}{S_2} = \frac{3.5 g}{0.008} = 437.5g$

So sánh $P_{1, \text{mới}}$ và $P_{2, \text{mới}}$: Vì $P_{2, \text{mới}} (437.5g) > P_{1, \text{mới}} (325g)$, nên mực nước ở nhánh $S_2$ sẽ thấp hơn nhánh $S_1$. Gọi $h'$ là độ chênh lệch mực nước mới. Ta có: $P_{2, \text{mới}} - P_{1, \text{mới}} = \rho g h'$ $(437.5g - 325g) = 1000 \times g \times h'$ $112.5g = 1000 g h'$

Chia cả hai vế cho $g$: $112.5 = 1000 h'$ $h' = \frac{112.5}{1000} = 0.1125 \text{ m}$

Đổi sang centimet: $h' = 0.1125 \times 100 = 11.25 \text{ cm}$

Vậy, nếu đặt khối lượng $m$ lên $m_2$, mực chất lỏng hai bên sẽ chênh nhau $11.25 \text{ cm}$.