Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích sự thay đổi công suất trên điện trở \(R\) và cụm song song khi mắc thêm điện trở \(R_x\).

**1. Công suất trên điện trở R ban đầu:**
Trước khi mắc thêm \(R_x\), dòng điện qua \(R\) là:
\[
I = \frac{U}{r + R}
\]
Công suất trên \(R\) là:
\[
P_R = I^2R = \left(\frac{U}{r + R}\right)^2R
\]

**2. Mạch sau khi mắc thêm \(R_x\) song song với R:**
Điện trở tương đương của \(R\) và \(R_x\) mắc song song là:
\[
R_{eq} = \frac{R \cdot R_x}{R + R_x}
\]
Dòng điện trong mạch chính sau khi mắc thêm \(R_x\) là:
\[
I' = \frac{U}{r + \frac{R \cdot R_x}{R + R_x}} = \frac{U(R + R_x)}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}
\]
Hiệu điện thế trên cụm song song \(R\) và \(R_x\) là:
\[
U_{eq} = I' \cdot R_{eq} = \frac{U(R + R_x)}{r(R + R_x) + R \cdot R_x} \cdot \frac{R \cdot R_x}{R + R_x} = \frac{U \cdot R \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}
\]
Dòng điện qua \(R\) sau khi mắc thêm \(R_x\) là:
\[
I_R' = \frac{U_{eq}}{R} = \frac{U \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}
\]
Công suất trên \(R\) sau khi mắc thêm \(R_x\) là:
\[
P_R' = (I_R')^2R = \left(\frac{U \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}\right)^2R
\]
Vì công suất trên \(R\) không thay đổi, ta có \(P_R = P_R'\):
\[
\left(\frac{U}{r + R}\right)^2R = \left(\frac{U \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}\right)^2R
\]
\[
\frac{U}{r + R} = \frac{U \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}
\]
\[
r(R + R_x) + R \cdot R_x = R_x(r + R)
\]
\[
rR + rR_x + RR_x = rR_x + RR_x
\]
\[
rR = 0
\]

Điều này không đúng vì \(r\) và \(R\) đều khác 0. Ta cần xem xét lại công suất trên cụm song song.

**3. Công suất trên cụm song song \(R\) và \(R_x\):**
Công suất trên cụm song song là:
\[
P_{eq} = \frac{U_{eq}^2}{R_{eq}} = \frac{\left(\frac{U \cdot R \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}\right)^2}{\frac{R \cdot R_x}{R + R_x}} = \frac{U^2 R R_x (R + R_x)}{[r(R + R_x) + R R_x]^2}
\]

Công suất trên \(R\) và \(R_x\) trước khi mắc \(R_x\) là công suất trên \(R\):
\[
P_R = \left(\frac{U}{r + R}\right)^2R
\]
Vì công suất trên cụm song song không đổi:
\[
\left(\frac{U}{r + R}\right)^2R = \frac{U^2 R R_x (R + R_x)}{[r(R + R_x) + R R_x]^2}
\]
\[
\frac{1}{(r + R)^2} = \frac{R_x (R + R_x)}{[r(R + R_x) + R R_x]^2}
\]
\[
[r(R + R_x) + R R_x]^2 = (r + R)^2 R_x (R + R_x)
\]
\[
[rR + rR_x + RR_x]^2 = (r + R)^2 R_x (R + R_x)
\]
\[
r^2R^2 + r^2R_x^2 + R^2R_x^2 + 2r^2RR_x + 2rRR_x^2 + 2rR^2R_x = (r^2 + 2rR + R^2)(RR_x + R_x^2)
\]
\[
r^2R^2 + r^2R_x^2 + R^2R_x^2 + 2r^2RR_x + 2rRR_x^2 + 2rR^2R_x = r^2RR_x + r^2R_x^2 + 2rR^2R_x + 2rRR_x^2 + R^2RR_x + R^2R_x^2
\]
\[
r^2R^2 + 2r^2RR_x = r^2RR_x + R^2RR_x
\]
\[
r^2R^2 + r^2RR_x - R^2RR_x = 0
\]
\[
r^2R + r^2R_x - R^2R_x = 0
\]
\[
R_x(R^2 - r^2) = r^2R
\]
\[
R_x = \frac{r^2R}{R^2 - r^2}
\]

Vậy, \(R_x = \frac{r^2R}{R^2 - r^2}\).