Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích sự thay đổi công suất trên điện trở $R$ và cụm song song khi mắc thêm điện trở $R_x$.

**1. Công suất trên điện trở R ban đầu:**
Trước khi mắc thêm $R_x$, dòng điện qua $R$ là:
$I = \frac{U}{r + R}$
Công suất trên $R$ là:
$P_R = I^2R = \left(\frac{U}{r + R}\right)^2R$

**2. Mạch sau khi mắc thêm $R_x$ song song với R:**
Điện trở tương đương của $R$ và $R_x$ mắc song song là:
$R_{eq} = \frac{R \cdot R_x}{R + R_x}$
Dòng điện trong mạch chính sau khi mắc thêm $R_x$ là:
$I' = \frac{U}{r + \frac{R \cdot R_x}{R + R_x}} = \frac{U(R + R_x)}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}$
Hiệu điện thế trên cụm song song $R$ và $R_x$ là:
$U_{eq} = I' \cdot R_{eq} = \frac{U(R + R_x)}{r(R + R_x) + R \cdot R_x} \cdot \frac{R \cdot R_x}{R + R_x} = \frac{U \cdot R \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}$
Dòng điện qua $R$ sau khi mắc thêm $R_x$ là:
$I_R' = \frac{U_{eq}}{R} = \frac{U \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}$
Công suất trên $R$ sau khi mắc thêm $R_x$ là:
$P_R' = (I_R')^2R = \left(\frac{U \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}\right)^2R$
Vì công suất trên $R$ không thay đổi, ta có $P_R = P_R'$:
$\left(\frac{U}{r + R}\right)^2R = \left(\frac{U \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}\right)^2R$
$\frac{U}{r + R} = \frac{U \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}$
$r(R + R_x) + R \cdot R_x = R_x(r + R)$
$rR + rR_x + RR_x = rR_x + RR_x$
$rR = 0$

Điều này không đúng vì $r$ và $R$ đều khác 0. Ta cần xem xét lại công suất trên cụm song song.

**3. Công suất trên cụm song song $R$ và $R_x$:**
Công suất trên cụm song song là:
$P_{eq} = \frac{U_{eq}^2}{R_{eq}} = \frac{\left(\frac{U \cdot R \cdot R_x}{r(R + R_x) + R \cdot R_x}\right)^2}{\frac{R \cdot R_x}{R + R_x}} = \frac{U^2 R R_x (R + R_x)}{[r(R + R_x) + R R_x]^2}$

Công suất trên $R$ và $R_x$ trước khi mắc $R_x$ là công suất trên $R$:
$P_R = \left(\frac{U}{r + R}\right)^2R$
Vì công suất trên cụm song song không đổi:
$\left(\frac{U}{r + R}\right)^2R = \frac{U^2 R R_x (R + R_x)}{[r(R + R_x) + R R_x]^2}$
$\frac{1}{(r + R)^2} = \frac{R_x (R + R_x)}{[r(R + R_x) + R R_x]^2}$
$[r(R + R_x) + R R_x]^2 = (r + R)^2 R_x (R + R_x)$
$[rR + rR_x + RR_x]^2 = (r + R)^2 R_x (R + R_x)$
$r^2R^2 + r^2R_x^2 + R^2R_x^2 + 2r^2RR_x + 2rRR_x^2 + 2rR^2R_x = (r^2 + 2rR + R^2)(RR_x + R_x^2)$
$r^2R^2 + r^2R_x^2 + R^2R_x^2 + 2r^2RR_x + 2rRR_x^2 + 2rR^2R_x = r^2RR_x + r^2R_x^2 + 2rR^2R_x + 2rRR_x^2 + R^2RR_x + R^2R_x^2$
$r^2R^2 + 2r^2RR_x = r^2RR_x + R^2RR_x$
$r^2R^2 + r^2RR_x - R^2RR_x = 0$
$r^2R + r^2R_x - R^2R_x = 0$
$R_x(R^2 - r^2) = r^2R$
$R_x = \frac{r^2R}{R^2 - r^2}$

Vậy, $R_x = \frac{r^2R}{R^2 - r^2}$.