Bài toán này cần chia thành hai giai đoạn:

Viên đá rơi tự do xuống đáy giếng.
Âm thanh từ đáy giếng vọng ngược lên đến miệng giếng.
Kí hiệu:

t1t_1t1​: Thời gian viên đá rơi xuống đáy giếng.
t2t_2t2​: Thời gian âm thanh vọng từ đáy giếng lên đến miệng giếng.
hhh: Độ sâu của giếng (khoảng cách từ miệng giếng đến mặt nước).
ggg: Gia tốc trọng trường (xấp xỉ 9.8m/s29.8 m/s^29.8m/s2).
vdav_{da}vda​: Vận tốc của viên đá.
vamv_{am}vam​: Vận tốc của âm thanh (340m/s340 m/s340m/s).
Thông tin đã cho:

Tổng thời gian nghe thấy tiếng đá chạm mặt nước: t=t1+t2=3st = t_1 + t_2 = 3 st=t1​+t2​=3s.
vda=23vamv_{da} = \frac{2}{3} v_{am}vda​=32​vam​.
vam=340m/sv_{am} = 340 m/svam​=340m/s.
Giải:

Tính vận tốc của viên đá:
vda=23⋅340=6803m/sv_{da} = \frac{2}{3} \cdot 340 = \frac{680}{3} m/svda​=32​⋅340=3680​m/s
Tính thời gian viên đá rơi xuống đáy giếng và thời gian âm thanh vọng lên:

Giai đoạn 1: Viên đá rơi tự do:Công thức tính quãng đường rơi tự do: h=12gt12h = \frac{1}{2} g t_1^2h=21​gt12​.
Từ đó, t1=2hgt_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}t1​=g2h​​.
Giai đoạn 2: Âm thanh vọng lên:Công thức tính quãng đường âm thanh đi: h=vam⋅t2h = v_{am} \cdot t_2h=vam​⋅t2​.
Từ đó, t2=hvamt_2 = \frac{h}{v_{am}}t2​=vam​h​.
Thiết lập phương trình:

Ta có t1+t2=3t_1 + t_2 = 3t1​+t2​=3, suy ra:
2hg+hvam=3\sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v_{am}} = 3g2h​​+vam​h​=3
Thay g=9.8m/s2g = 9.8 m/s^2g=9.8m/s2 và vam=340m/sv_{am} = 340 m/svam​=340m/s vào:
2h9.8+h340=3\sqrt{\frac{2h}{9.8}} + \frac{h}{340} = 39.82h​​+340h​=3
h4.9+h340=3\sqrt{\frac{h}{4.9}} + \frac{h}{340} = 34.9h​​+340h​=3
Giải phương trình:
Đặt x=hx = \sqrt{h}x=h​, khi đó h=x2h = x^2h=x2. Phương trình trở thành:
x4.9+x2340=3\frac{x}{\sqrt{4.9}} + \frac{x^2}{340} = 34.9​x​+340x2​=3
x2.2136+x2340=3\frac{x}{2.2136} + \frac{x^2}{340} = 32.2136x​+340x2​=3
x2340+x2.2136−3=0\frac{x^2}{340} + \frac{x}{2.2136} - 3 = 0340x2​+2.2136x​−3=0
Nhân cả phương trình với 340:
x2+3402.2136x−1020=0x^2 + \frac{340}{2.2136}x - 1020 = 0x2+2.2136340​x−1020=0
x2+153.6x−1020=0x^2 + 153.6 x - 1020 = 0x2+153.6x−1020=0
Giải phương trình bậc hai này, ta được:
x=−153.6±153.62−4(1)(−1020)2x = \frac{-153.6 \pm \sqrt{153.6^2 - 4(1)(-1020)}}{2}x=2−153.6±153.62−4(1)(−1020)​​
x=−153.6±23592.96+40802x = \frac{-153.6 \pm \sqrt{23592.96 + 4080}}{2}x=2−153.6±23592.96+4080​​
x=−153.6±27672.962x = \frac{-153.6 \pm \sqrt{27672.96}}{2}x=2−153.6±27672.96​​
x=−153.6±166.352x = \frac{-153.6 \pm 166.35}{2}x=2−153.6±166.35​
Ta chỉ xét nghiệm dương:
x=−153.6+166.352=12.752=6.375x = \frac{-153.6 + 166.35}{2} = \frac{12.75}{2} = 6.375x=2−153.6+166.35​=212.75​=6.375
Vậy x=6.375x = 6.375x=6.375, suy ra h=x2=(6.375)2≈40.64mh = x^2 = (6.375)^2 \approx 40.64 mh=x2=(6.375)2≈40.64m.
Kiểm tra lại:

t1=2hg=2⋅40.649.8=81.289.8≈8.29≈2.88st_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 40.64}{9.8}} = \sqrt{\frac{81.28}{9.8}} \approx \sqrt{8.29} \approx 2.88 st1​=g2h​​=9.82⋅40.64​​=9.881.28​​≈8.29​≈2.88s
t2=hvam=40.64340≈0.12st_2 = \frac{h}{v_{am}} = \frac{40.64}{340} \approx 0.12 st2​=vam​h​=34040.64​≈0.12s
t1+t2≈2.88+0.12=3.00st_1 + t_2 \approx 2.88 + 0.12 = 3.00 st1​+t2​≈2.88+0.12=3.00s (khớp với giả thiết)
Vậy độ sâu của giếng xấp xỉ 40.64m40.64 m40.64m.

Lưu ý: Bài toán gốc có một mâu thuẫn. Giả thiết "vận tốc rơi của viên đá bằng 2/3 vận tốc âm thanh" là không hợp lý trong bài toán này, vì viên đá rơi tự do với gia tốc trọng trường chứ không phải vận tốc cố định. Cách giải trên bỏ qua giả thiết này và tính theo phương pháp vật lý thông thường.