Chúng ta có phương trình dao động điều hòa của vật:
\[ x = 4 \cos(6\pi t - \frac{\pi}{4}) \text{ (cm)} \]

a) Tìm vị trí ban đầu của vật

Để tìm vị trí ban đầu của vật, chúng ta cần tính giá trị của \(x\) khi \(t = 0\):
\[
x(0) = 4 \cos\left(6\pi \cdot 0 - \frac{\pi}{4}\right) = 4 \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ cm}
\]

Vậy, vị trí ban đầu của vật là \(2\sqrt{2} \text{ cm}\).

b) Trong thời gian \(t = 3 \text{ s}\) vật qua vị trí cân bằng mấy lần

Tần số góc của dao động là \(\omega = 6\pi \text{ rad/s}\). Tần số dao động \(f\) là:
\[
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{6\pi}{2\pi} = 3 \text{ Hz}
\]

Chu kỳ dao động \(T\) là:
\[
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{3} \text{ s}
\]

Trong thời gian \(t = 3 \text{ s}\), số chu kỳ dao động là:
\[
n = \frac{t}{T} = \frac{3}{\frac{1}{3}} = 9
\]

Mỗi chu kỳ dao động, vật qua vị trí cân bằng 2 lần. Vậy, trong thời gian \(3 \text{ s}\), vật qua vị trí cân bằng:
\[
2 \times 9 = 18 \text{ lần}
\]

c) Trong thời gian \(t = \frac{2}{3} \text{ s}\) vật qua vị trí \(x = +2 \text{ cm}\) theo chiều dương mấy lần

Để tìm số lần vật qua vị trí \(x = +2 \text{ cm}\) theo chiều dương, chúng ta cần giải phương trình:
\[
4 \cos(6\pi t - \frac{\pi}{4}) = 2 \Rightarrow \cos(6\pi t - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}
\]

Giá trị của \(\cos(\theta) = \frac{1}{2}\) khi \(\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Do đó:
\[
6\pi t - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{và} \quad 6\pi t - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

Trường hợp 1: \(6\pi t - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)
\[
6\pi t = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi
\]
\[
t = \frac{7\pi + 24k\pi}{72\pi} = \frac{7 + 24k}{72} \text{ s}
\]

Trường hợp 2: \(6\pi t - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\)
\[
6\pi t = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = -\frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2k\pi = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi
\]
\[
t = \frac{-\pi + 24k\pi}{72\pi} = \frac{-1 + 24k}{72} \text{ s}
\]

Giá trị \(t\) nằm trong khoảng \(\left(0, \frac{2}{3} \text{ s}\right)\) thỏa mãn:

Trường hợp 1:
\[
t = \frac{7 + 24k}{72}
\]

Ta kiểm tra các giá trị của \(k\):
- \(k = 0\): \(t = \frac{7}{72} \approx 0,097 \text{ s}\) (thỏa mãn)
- \(k = 1\): \(t = \frac{7 + 24}{72} = \frac{31}{72} \approx 0,431 \text{ s}\) (thỏa mãn)
- \(k = -1\): \(t = \frac{7 - 24}{72} = \frac{-17}{72} \approx -0,236 \text{ s}\) (không thỏa mãn)

Trường hợp 2:
\[
t = \frac{-1 + 24k}{72}
\]

Ta kiểm tra các giá trị của \(k\):
- \(k = 1\): \(t = \frac{-1 + 24}{72} = \frac{23}{72} \approx 0,319 \text{ s}\) (thỏa mãn)
- \(k = 2\): \(t = \frac{-1 + 48}{72} = \frac{47}{72} \approx 0,653 \text{ s}\) (thỏa mãn)
- \(k = 0\): \(t = \frac{-1}{72} \approx -0,014 \text{ s}\) (không thỏa mãn)

Vậy trong khoảng thời gian \(\frac{2}{3} \text{ s}\), vật qua vị trí \(x = +2 \text{ cm}\) theo chiều dương 4 lần (tương ứng với các thời điểm khoảng \(0,097 \text{ s}\), \(0,319 \text{ s}\), \(0,431 \text{ s}\), và \(0,653 \text{ s}\)).