Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. góc giữa SC và (ABCD) bằng 45o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Quảng cáo
1 câu trả lời 44
1 tuần trước
Để tính thể tích khối chóp S.ABCD theo cạnh đáy \(a\), ta sẽ thực hiện các bước sau:
Gọi \(O\) là trung điểm của cạnh \(AB\) và \(E\) là giao điểm của \(SC\) với mặt phẳng \(ABCD\).
Vì hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(ABCD\) là trung điểm của cạnh \(AB\), nên ta có \(OE \parallel SC\).
Đặt \(OE = x\), ta có \(SE = SC = a\).
Ta có tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\), nên theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(SOE\), ta có:,\[SE^2 = SO^2 + OE^2\],\[a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + x^2\],\[a^2 = \frac{a^2}{4} + x^2\],\[4a^2 = a^2 + 4x^2\],\[3a^2 = 4x^2\],\[x = \frac{a√{3}}{2}\]
Để tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\), ta sử dụng công thức:,\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h\],Trong đó \(S_{\text{đáy}}\) là diện tích đáy của chóp, \(h\) là chiều cao của chóp.
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), nên diện tích \(S_{\text{đáy}} = a^2\).
Chiều cao \(h\) của chóp chính là độ dài \(OS\). Ta có \(OS = OE + ES = x + a = \frac{a√{3}}{2} + a = a\left(\frac{√{3}}{2} + 1\right)\).
Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo cạnh \(a\) là:,\[V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\left(\frac{√{3}}{2} + 1\right)\],\[V = \frac{a^3}{3} \times \left(\frac{√{3}}{2} + 1\right)\],\[V = \frac{a^3(√{3} + 2)}{6}\]
Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo cạnh \(a\) là \(\frac{a^3(√{3} + 2)}{6}\) hay \(V = \frac{a^3(√{3} + 2)}{6}\).
Gọi \(O\) là trung điểm của cạnh \(AB\) và \(E\) là giao điểm của \(SC\) với mặt phẳng \(ABCD\).
Vì hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(ABCD\) là trung điểm của cạnh \(AB\), nên ta có \(OE \parallel SC\).
Đặt \(OE = x\), ta có \(SE = SC = a\).
Ta có tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\), nên theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(SOE\), ta có:,\[SE^2 = SO^2 + OE^2\],\[a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + x^2\],\[a^2 = \frac{a^2}{4} + x^2\],\[4a^2 = a^2 + 4x^2\],\[3a^2 = 4x^2\],\[x = \frac{a√{3}}{2}\]
Để tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\), ta sử dụng công thức:,\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h\],Trong đó \(S_{\text{đáy}}\) là diện tích đáy của chóp, \(h\) là chiều cao của chóp.
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), nên diện tích \(S_{\text{đáy}} = a^2\).
Chiều cao \(h\) của chóp chính là độ dài \(OS\). Ta có \(OS = OE + ES = x + a = \frac{a√{3}}{2} + a = a\left(\frac{√{3}}{2} + 1\right)\).
Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo cạnh \(a\) là:,\[V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\left(\frac{√{3}}{2} + 1\right)\],\[V = \frac{a^3}{3} \times \left(\frac{√{3}}{2} + 1\right)\],\[V = \frac{a^3(√{3} + 2)}{6}\]
Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo cạnh \(a\) là \(\frac{a^3(√{3} + 2)}{6}\) hay \(V = \frac{a^3(√{3} + 2)}{6}\).
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
Gửi báo cáo thành công!