Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức về dao động điều hòa.

Đầu tiên, ta biết biên độ \(A\) của dao động bằng 5 cm và thời gian ngắn nhất \(T\) để vật di chuyển giữa hai vị trí biên bằng 0.5 s. Ta có công thức:

\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

trong đó \(\omega\) là tần số góc của dao động, và được tính bằng công thức:

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

Thay giá trị của \(T\) vào ta có:

\[\omega = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi \mathrm{~rad/s}\]

Tiếp theo, ta biết vị trí ban đầu của vật là \(x_0 = 2.5\) cm và ta muốn tính gia tốc khi \(t = \frac{1}{4}\) s. Để làm điều này, ta cần tìm biểu thức vị trí \(x(t)\) của vật.

Biểu thức cho vị trí \(x(t)\) của một vật trong dao động điều hòa là:

\[x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\]

Trong đó, \(\phi\) là pha ban đầu của dao động. Để tìm giá trị của \(\phi\), ta lưu ý rằng khi \(t = 0\), vật ở vị trí \(x = x_0\):

\[x(0) = A\cos(\phi) = x_0\]

Từ đó ta có:

\[\cos(\phi) = \frac{x_0}{A}\]

Vì \(x_0 = 2.5\) cm và \(A = 5\) cm, ta tính được:

\[\cos(\phi) = \frac{2.5}{5} = 0.5\]

Dựa vào giá trị này, ta có thể tìm ra giá trị của \(\phi\) bằng cách sử dụng hàm arccosine:

\[\phi = \arccos(0.5) \approx 1.047 \mathrm{~rad}\]

Để tìm giá trị gia tốc khi \(t = \frac{1}{4}\) s, ta cần tìm đạo hàm thứ hai của \(x(t)\) theo thời gian:

\[a(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2}\]

Đạo hàm thứ hai của \(x(t)\) theo thời gian là:

\[a(t) = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)\]

Thay giá trị của \(\omega\) và \(\phi\) ta tính được:

\[a\left(\frac{1}{4}\right) = -5\left(4\pi\right)^2 \sin\left(4\pi \cdot \frac{1}{4} + 1.047\right)\]

Tính toán giá trị này ta có:

\[a\left(\frac{1}{4}\right) \approx -7906 \mathrm{~cm/s^2}\]

Vậy gia tốc khi \(t = \frac{1}{4}\) s là khoảng -7906 cm/s².

...Xem thêm

Answer 2