I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho tập hợp A và a là một phần tử của tập hợp A. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. {a} ⊂ A;                

B. {a} ∈ A;                

C. a ∈ A;                    

D. $\varnothing \subset A$.

Câu 2. Cho mệnh đề chứa biến  P(n): “n² chia hết cho 4 ” với n là số nguyên. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. P(5);                      

B. P(2);                       

C. P(4);                       

D. P(6).   

Câu 3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) vô nghiệm” là:

A. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)  không có nghiệm;

B. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)  có nghiệm;

C. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)  có 2 nghiệm phân biệt;

D. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)  có nghiệm kép.

Câu 4. Gọi A là tập hợp các số thực không nhỏ hơn 1 và B là tập hợp các số thực có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 2. Tìm$A\cap B$

A. $A\cap B=(1;2)$;

B. $A\cap B=[1;2)$;

C. $A\cap B=[1;2]$;

D. $A\cap B=(-2;1)$.

Câu 5. Cho A = {0; 1; 2; 3; 4} và B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp (A \ B) ∪ (B \ A) bằng?

A. {5; 6};

B.  {2; 3; 4};

C. {1; 2};

D. {0; 1; 5; 6}.

Câu 6: Số phần tử của tập hợp A = {k² + 1| k ∈ ℤ, |k| ≤ 2} bằng

A. 1;

B. 5;

C. 3;

D. 2.

Câu 7: Cho hai tập hợp (1; 3) và [2; 4]. Giao của hai tập hợp đã cho là

A. (2; 3];                             

B. (2; 3);                             

C. [2; 3);                             

D. [2; 3].

Câu 8: Hình vẽ sau đây (phần không bị gạch) là biểu diễn của tập hợp nào?

A. (– ∞; – 2) ∪ [5; +∞);    

B. (– ∞; – 2) ∪ (5; +∞);    

C. (– ∞; – 2] ∪ (5; +∞);

D. (– ∞; – 2] ∪ [5; +∞).

Câu 9. Lớp 10A₁ có 6 học sinh giỏi Toán, 4 học sinh giỏi Lý, 5 học sinh giỏi Hóa, 2 học sinh giỏi Toán và Lý, 3 học sinh giỏi Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A₁ là:

A. 15;                                  

B. 23;                                  

C. 7;                                    

D. 9.

Câu 10. Cặp số (x; y) nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 5x – 3y ≤ 2?

A.  (0; – 2);                

B.  (3; 0);                    

C.  (2; 1);                    

D.  (– 1; – 1).

Câu 11. Bất phương trình nào sau đây không là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. 8 – $\sqrt{2}$x ≤ 0; 

B. 4x – 3 > 0;    

C. $\frac{1}{3}$x – 3 < 0;

D.  (x + 1)² ≥ 1.

Câu 12. Phần mặt phẳng không bị gạch chéo trong hình vẽ bên (kể cả biên) là biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+2y\le 4\end{array}\right.$;           

B. $\left\{\begin{array}{l}x-y\le 0\\ x+2y\ge 4\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+2y\ge 4\end{array}\right.$ 

D. $\left\{\begin{array}{l}x-y\le 0\\ x+2y\le 4\end{array}\right.$.

Câu 13. Cho sin35° ≈ 0,57. Giá trị của sin145° gần với giá trị nào nhất sau đây:

A. 0,57;    

B. 1;

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

D. 0,15.

Câu 14. Tính giá trị biểu thức: A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°

A. $\frac{1}{2}$;        

B. – 0,5;   

C. 1;

D. 0.

Câu 15. Cho tam giác ABC, ta có các đẳng thức:

(I) sin$\frac{A}{2}$ = sin$\frac{B+C}{2}$;

(II) tan$\frac{A}{2}$ = cot$\frac{B+C}{2}$;

(III) sinA = sin(B + C).

Có bao nhiêu đẳng thức đúng?

A. $\frac{1}{2}$;        

B. – 0,5;   

C. 1;

D. 0.

Câu 16. Cho điểm M(x₀; y₀) nằm trên đường tròn đơn vị thỏa mãn $\widehat{xOM}=\alpha$. Khi đó phát biểu nào dưới đây là sai?

A. sinα = x₀;      

B. cosα = x₀;      

C. tanα = $\frac{y_0}{x_0}$;

D. cotα = $\frac{x_0}{y_0}$.

Câu 17. Trong các công thức dưới đây, công thức nào sai về cách tính diện tích tam giác ABC? Biết AB = c, AC = b, BC = a, h_a, h_b, h_c lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C, r là bán kính đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. S_ABC = pr;     

B. S_ABC = $\frac{1}{2}$c.a.sinA;

C. S_ABC = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$;

D. S_ABC = $\frac{abc}{4R}$.

Câu 18. Cho tam giác ABC, có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Định lí sin được phát biểu:

A. $\frac{a}{\text{cos}A}=\frac{b}{\cos B}=\frac{c}{\cos C}$;       

B. $\frac{a}{\text{sin}A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$;         

C. a.cosA = b.cosB = c.cosC;

D. a.sinA = b.sinB = c.sinC.

Câu 19. Cho tam giác ABC có BC = 50 cm, $\widehat{B}=65°,\widehat{C}=45°$. Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị xăng – ti – mét). Chu vi của tam giác ABC là:

A. 135,84;

B. 67,92;  

C. 131,91;

D. 65,96.

Câu 20. Một người đứng ở vị trí A trên nóc một ngôi nhà cao 8m đang quan sát một cây cao cách ngôi nhà 25m và đo được $\widehat{BAC}=65°$. Chiều cao của cây gần với kết quả nào nhất sau đây?

A. 38m;    

B. 39m;    

C. 19m;

D. 20m.

Câu 21. Đẳng thức nào sau đây, mô tả đúng hình vẽ bên?

A. $3\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$.

B. $\overrightarrow{BI}+3\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$.

C. $3\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$. 

D. $\overrightarrow{AI}+3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$.

Câu 22: Cho hình chữ nhật ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng.

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}$.                       

B. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.               

C. $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|$.                     

D. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Câu 23. Cho hình bình hành ABCD với điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{AB}$ thì

A. K là trung điểm của AC.                       

B. K là trung điểm của AD.

C. K là trung điểm của AB.                        

D. K là trung điểm của BD.

Câu 24. Cho tam giác đều ABC có AB = a, M là trung điểm của BC. Khi đó $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right|$ bằng

A. $\frac{a}{4}$. 

B. 2a.   

C. $\frac{a}{2}$.   

D. a.

Câu 25. Cho hình bình hành ABCD. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.                

B. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$.               

C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.               

D. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

Câu 26. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$;                       

B. $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MO}$;

C. $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$;                       

D. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}$.

Câu 27. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

B. Vectơ là đoạn thẳng có hướng.

C. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.

D. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.

Câu 28. Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{PQ}$;

B. $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{NP}$;                     

C. $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{PQ}$;                   

D. $\overrightarrow{MQ}=-2\overrightarrow{NP}$.

Câu 29. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Gọi M là điểm nằm trên đường tròn (O), độ dài vectơ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ bằng

A. 1;                                    

B. 6;                                    

C. $\sqrt{3}$;                                

D. 3.

Câu 30. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a, gọi H là trung điểm của cạnh BC. Độ dài của vectơ $2\left(\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HC}\right)$bằng

A. a;                                    

B. 2a;                                  

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$; 

D. $a\sqrt{3}$.

II. TỰ LUẬN

Bài 1 (1,0 điểm).

a) Cho tập hợp A = {x ∈ ℝ | x² = 2} và B = {x ∈ ℕ| x² + 5x – 6 = 0}. Tìm tập hợp A ∩ B và A ∪ B.

b) Cho tập hợp A = (m ; m + 2] và B = [– 1 ; 5]. Tìm m để A ⊂ B.

Bài 2 (1,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = – 2x + y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y\ge -2\\ x+y\le 4\\ x-5y\le -2\end{array}\right.$.

Bài 3 (1,5 điểm).

a) Cho 4 điểm M,N, P, Q bất kỳ, chứng minh rằng $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NQ}-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$.

b) Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm thỏa mãn $4\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}$ và G là trọng tâm tam giác ABE. Đường thẳng AG cắt BC tại F.  Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và tính tỉ số $\frac{BF}{BC}$.

Đáp án đề thi Giữa học kì 1 Toán lớp 10 Cánh diều - Đề số 3

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho tập hợp A và a là một phần tử của tập hợp A. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. {a} ⊂ A;                

B. {a} ∈ A;                

C. a ∈ A;                    

D. $\varnothing \subset A$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có a là một phần tử của tập hợp A nên ta viết a ∈ A. Do đó C là mệnh đề đúng và B là mệnh đề sai.

Ta lại có {a} là tập con của tập A nên ta viết {a} ⊂ A. Do đó A là mệnh đề đúng.

Ngoài ra tập $\varnothing$ là tập con của tất cả các tập hợp nên ta có $\varnothing \subset A$. Do đó D là mệnh đề đúng.

Câu 2. Cho mệnh đề chứa biến  P(n): “n² chia hết cho 4 ” với n là số nguyên. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. P(5);                      

B. P(3);                       

C. P(2);                       

D. P(1).   

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với n = 5 ta có mệnh đề P(5): “5² chia hết cho 4 ”. Đây là mệnh đề sai vì 5² = 25 chia cho 4 dư 1.

Với n = 3 ta có mệnh đề P(3): “3² chia hết cho 4 ”. Đây là mệnh đề sai vì 3² = 9 chia cho 4 dư 1.

Với n = 2 ta có mệnh đề P(2): “2² chia hết cho 4 ”. Đây là mệnh đề đúng vì 2² = 4 chia hết cho 4.

Với n = 1 ta có mệnh đề P(1): “1² chia hết cho 4 ”. Đây là mệnh đề sai vì 1² = 1 chia cho 4 dư 1.

Câu 3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) vô nghiệm” là:

A. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)  không có nghiệm;

B. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)  có nghiệm;

C. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)  có 2 nghiệm phân biệt;

D. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)  có nghiệm kép.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) vô nghiệm” là: Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)  có nghiệm.

Câu 4. Gọi A là tập hợp các số thực không nhỏ hơn 1 và B là tập hợp các số thực có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 2. Tìm$A\cap B$

A. $A\cap B=(1;2)$;

B. $A\cap B=[1;2)$;

C. $A\cap B=[1;2]$;

D. $A\cap B=(-2;1)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có A là tập hợp các số thực không nhỏ hơn 1 nên bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng tập hợp A được viết thành: A = {x ∈ ℝ| x ≥ 1} = [1; +∞).

Ta lại có B là tập hợp các số thực có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 2 nên bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng tập hợp B được viết thành: B = {x ∈ ℝ| |x| < 2} = {x ∈ ℝ| x < 2 hoặc x > – 2} = (– 2; 2).

Biểu diễn các tập hợp trên trục số ta được:

Vậy A ∩ B = [1; 2).

Câu 5. Cho A = {0; 1; 2; 3; 4} và B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tập hợp (A \ B) ∪ (B \ A) bằng?

A. {5; 6};

B.  {2; 3; 4};

C. {1; 2};

D. {0; 1; 5; 6}.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có A \ B = {0; 1} và B \ A = {5; 6}.

Khi đó: (A \ B) ∪ (B \ A) = {0; 1; 5; 6}.

Câu 6: Số phần tử của tập hợp A = {k² + 1| k ∈ ℤ, |k| ≤ 2} bằng

A. 1;

B. 5;

C. 3;

D. 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có |k| ≤ 2

⇔ – k ≤ 2 hoặc k ≤ 2

⇔ k ≥ – 2 hoặc k ≤ 2

⇒ – 2 ≤ k ≤ 2

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {– 2; – 1; 0; 1; 2}.

⇒ k² + 1 ∈ {1; 2; 5}.

Do đó A = {1; 2; 5}. Vì vậy tập hợp A có 3 phần tử.

Câu 7: Cho hai tập hợp (1; 3) và [2; 4]. Giao của hai tập hợp đã cho là

A. (2; 3];                             

B. (2; 3);                             

C. [2; 3);                             

D. [2; 3].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta biểu diễn các tập hợp đã cho trên trục số ta được:

Vì vậy (1; 3) ∩ [2; 4] = [2; 3).

Câu 8: Hình vẽ sau đây (phần không bị gạch) là biểu diễn của tập hợp nào?

A. (– ∞; – 2) ∪ [5; +∞);    

B. (– ∞; – 2) ∪ (5; +∞);    

C. (– ∞; – 2] ∪ (5; +∞);

D. (– ∞; – 2] ∪ [5; +∞).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Từ việc quan sát vào hình vẽ ta thấy phần không bị gạch chéo biểu diễn cho tập hợp:

(– ∞; – 2) ∪ [5; +∞).

Câu 9. Lớp 10A₁ có 6 học sinh giỏi Toán, 4 học sinh giỏi Lý, 5 học sinh giỏi Hóa, 2 học sinh giỏi Toán và Lý, 3 học sinh giỏi Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A₁ là:

A. 15;                                  

B. 23;                                  

C. 7;                                    

D. 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi T là tập hợp các bạn học sinh giỏi Toán, khi đó |T| = 6;

L là tập hợp các bạn học sinh giỏi Lý, khi đó |L| = 4;

H là tập hợp các bạn học sinh giỏi Hóa, khi đó |H| = 5.

Do đó ta có:

T ∩ L là tập hợp các bạn học sinh vừa giỏi môn Toán vừa giỏi Lý nên |T ∩ L| = 2;

T ∩ H là tập hợp các bạn học sinh vừa giỏi môn Toán vừa giỏi Hóa nên |T ∩ H| = 3;

H ∩ L là tập hợp các bạn học sinh vừa giỏi môn Hóa vừa giỏi Lý nên |H ∩ L| = 2.

T ∩ L ∩ H là tập hợp các bạn học sinh vừa giỏi môn Toán vừa giỏi Lý và vừa giỏi Hóa nên |T ∩ L ∩ H | = 1.

Tập hợp số học sinh giỏi ít nhất một môn là T ∪ L ∪ H. Khi đó:

|T ∪ L ∪ H| = |T| + |L| + |H| – |T ∩ L| – |T ∩ H| – |H ∩ L| + |T ∩ L ∩ H |

= 6 + 4 + 5 – 2 – 3 – 2 + 1 = 9.

Vậy có 9 học sinh của lớp 10A₁ vừa giỏi môn Toán vừa giỏi Lý và vừa giỏi Hóa.

Câu 10. Cặp số (x; y) nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 5x – 3y ≤ 2?

A.  (0; – 2);                

B.  (3; 0);                    

C.  (2; 1);                    

D.  (– 1; – 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Với (0; – 2) thay x = 0 và y = – 2 vào 5x – 3y ≤ 2 ta được:

5.0 – 3.(– 2) ≤ 2 ⇔ 6 ≤ 2 là một mệnh đề sai.

Do đó (0; – 2) không là nghiệm của bất phương trình.

+) Với (3; 0) thay x = 3 và y = 0 vào 5x – 3y ≤ 2 ta được:

5.3 – 3.0 ≤ 2 ⇔ 15 ≤ 2 là một mệnh đề sai.

Do đó (3; 0) không là nghiệm của bất phương trình.

+) Với (2; 1) thay x = 2 và y = 1 vào 5x – 3y ≤ 2 ta được:

5.2 – 3.1 ≤ 2 ⇔ 7 ≤ 2 là một mệnh đề sai.

Do đó (2; 1) không là nghiệm của bất phương trình.

+) Với (– 1; – 1) thay x = – 1 và y = – 1 vào 5x – 3y ≤ 2 ta được:

5.(– 1) – 3.(– 1) ≤ 2 ⇔ – 2  ≤ 2 là một mệnh đề đúng.

Do đó (– 1; – 1) không là nghiệm của bất phương trình.

Câu 11. Bất phương trình nào sau đây không là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. 8 – $\sqrt{2}$x ≤ 0; 

B. 4x – 3 > 0;    

C. $\frac{1}{3}$x – 3 < 0;

D.  (x + 1)² ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta thấy bất phương trình ở các đáp án A, B, C đều có dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Còn ý d là bất phương trình bậc 2. Do đó D không là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Câu 12. Phần mặt phẳng không bị gạch chéo trong hình vẽ bên (kể cả biên) là biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+2y\le 4\end{array}\right.$;           

B. $\left\{\begin{array}{l}x-y\le 0\\ x+2y\ge 4\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+2y\ge 4\end{array}\right.$ 

D. $\left\{\begin{array}{l}x-y\le 0\\ x+2y\le 4\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Gọi đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (4; 0) và (0; 2) có dạng d₁: y = ax + b (a ≠ 0).

Thay lần lượt  tọa độ các điểm vào phương trình y = ax + b ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}a.4+b=0\\ a.0+b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Suy ra d₁: y = $-\frac{1}{2}$x + 2 ⇔ x + 2y = 2.

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d₁, ta có: 0 + 2.0 = 0 < 2 và điểm O thuộc miền nghiệm của bất phương trình kể cả biên nên ta có x + 2y ≤ 2 (1).

+) Gọi đường thẳng đi qua O(0; 0) và là phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ hai có dạng d₂: y = x hay x – y = 0.

Lấy điểm M(1; 0) không thuộc d₂, ta có: 1 – 0 = 1 > 0 và điểm M thuộc miền nghiệm của bất phương trình kể cả biên nên ta có x – y ≥ 0 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ x+2y\le 4\end{array}\right.$.

Câu 13. Cho sin35° ≈ 0,57. Giá trị của sin145° gần với giá trị nào nhất sau đây:

A. 0,57;    

B. 1;

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

D. 0,15.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có 35° + 145° = 180°

⇒ sin35° = sin (180° – 145°) = sin145°

⇒ sin145° = sin35° ≈ 0,57.

Câu 14. Tính giá trị biểu thức: A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°

A. $\frac{1}{2}$;        

B. – 0,5;   

C. 1;

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°

= 1 + cos 40° – $\frac{1}{2}$ – cos 40°

= $\frac{1}{2}$.

Câu 15. Cho tam giác ABC, ta có các đẳng thức:

(I) sin$\frac{A}{2}$ = sin$\frac{B+C}{2}$;

(II) tan$\frac{A}{2}$ = cot$\frac{B+C}{2}$;

(III) sinA = sin(B + C).

Có bao nhiêu đẳng thức đúng?

A. $\frac{1}{2}$;        

B. – 0,5;   

C. 1;

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC, ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ ⇒ $\widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

⇒ sinA = sin(180°– (B + C)) = sin(B + C). Do đó (III) đúng.

Ta lại có: $\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=90°$⇒$\frac{\widehat{A}}{2}=90°-\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$

Khi đó: 

sin$\frac{A}{2}$ = sin$\left(90°-\frac{B+C}{2}\right)$ = cos$\frac{B+C}{2}$. Do đó (I) sai.

tan$\frac{A}{2}$ = tan$\left(90°-\frac{B+C}{2}\right)$ = cot$\frac{B+C}{2}$. Do đó (II) đúng.

Vậy có 2 phát biểu đúng.

Câu 16. Cho điểm M(x₀; y₀) nằm trên đường tròn đơn vị thỏa mãn $\widehat{xOM}=\alpha$. Khi đó phát biểu nào dưới đây là sai?

A. sinα = x₀;      

B. cosα = x₀;      

C. tanα = $\frac{y_0}{x_0}$;

D. cotα = $\frac{x_0}{y_0}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điểm M(x₀; y₀) nằm trên đường tròn đơn vị thỏa mãn $\widehat{xOM}=\alpha$ nên ta có:

sinα = y₀;

cosα = x₀;

tanα = $\frac{y_0}{x_0}$;

cotα = $\frac{x_0}{y_0}$.

Do đó A là đáp án sai.

Câu 17. Trong các công thức dưới đây, công thức nào sai về cách tính diện tích tam giác ABC? Biết AB = c, AC = b, BC = a, h_a, h_b, h_c lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C, r là bán kính đường tròn nội tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. S_ABC = pr;     

B. S_ABC = $\frac{1}{2}$c.a.sinA;

C. S_ABC = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$;

D. S_ABC = $\frac{abc}{4R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Các công thức tính diện tích tam giác ABC là:

S_ABC = pr; S_ABC = $\frac{abc}{4R}$;

S_ABC = a.h_a = b.h_b = c.h_c;

S_ABC = $\frac{1}{2}$c.a.sinB = $\frac{1}{2}$c.b.sinA = $\frac{1}{2}$a.b.sinC;

S_ABC = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Do đó B sai.

Câu 18. Cho tam giác ABC, có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Định lí sin được phát biểu:

A. $\frac{a}{\text{cos}A}=\frac{b}{\cos B}=\frac{c}{\cos C}$;       

B. $\frac{a}{\text{sin}A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$;         

C. a.cosA = b.cosB = c.cosC;

D. a.sinA = b.sinB = c.sinC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC, định lí sin được phát biểu như sau: $\frac{a}{\text{sin}A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Do đó B đúng.

Câu 19. Cho tam giác ABC có BC = 50 cm, $\widehat{B}=65°,\widehat{C}=45°$. Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị xăng – ti – mét). Chu vi của tam giác ABC là:

A. 135,84;

B. 67,92;  

C. 131,91;

D. 65,96.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC, có:

$$\begin{gathered} \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180° \\ \Rightarrow \widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}=180°-65°-45°=70° \end{gathered}$$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$

⇔ $\frac{50}{\sin 70}=\frac{AB}{\sin 45°}=\frac{AC}{\sin 65°}$

⇒ AB = $\frac{50.\sin 45°}{\sin 70°}\approx 37,6$

⇒ AC = $\frac{50.\sin 65°}{\sin 70°}\approx 48,2$

Khi đó chu vi tam giác ABC là:

50 + 37,6 + 48,2 = 135,8.

Câu 20. Một người đứng ở vị trí A trên nóc một ngôi nhà cao 8m đang quan sát một cây cao cách ngôi nhà 25m và đo được $\widehat{BAC}=65°$. Chiều cao của cây gần với kết quả nào nhất sau đây?

A. 38m;    

B. 39m;    

C. 19m;

D. 20m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đặt các điểm A, B, C, D như trên hình vẽ, khi đó:

Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

tan $\widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{25}{8}\Rightarrow \widehat{ABC}\approx 72°15\text{'}$

⇒ $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}\approx 72°15\text{'}+43°44\text{'}=115°59\text{'}$

Vì AB // CD nên $\widehat{BDC}=180°-\widehat{ABD}\approx 64°1\text{'}$

Xét tam giác BDC, có:

$$\begin{gathered} \frac{BC}{\sin \widehat{CBD}}=\frac{BC}{\sin \widehat{D}} \\ \iff BC=\frac{BC.\sin \widehat{D}}{\sin \widehat{CBD}}=\frac{\sqrt{689}.\sin 64°1\text{'}}{\sin 43°44\text{'}}\approx 20,2 \end{gathered}$$.

Vậy độ dài cây khoảng 20m.

Câu 21. Đẳng thức nào sau đây, mô tả đúng hình vẽ bên?

A. $3\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$.

B. $\overrightarrow{BI}+3\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$.

C. $3\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$. 

D. $\overrightarrow{AI}+3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo hình vẽ, ta có:

+) AB = 3AI

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AI}$ nằm trên cùng một đường thẳng nên chúng cùng phướng tuy nhiên vectơ $\overrightarrow{AB}$ hướng từ trái sang phải, còn vectơ $\overrightarrow{AI}$ hướng từ phải sang trái nên vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AI}$ ngược hướng.

Do đó ta có: $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AI}$ hay $3\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$. Do đó A đúng và D sai.

+) Hai vectơ $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IA}$ cùng hướng và IB = 4IA nên $\overrightarrow{IB}=4\overrightarrow{IA}$ hay $4\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$. Do đó C sai.

+) Hai vectơ $\overrightarrow{BI}$ và $\overrightarrow{BA}$ cùng hướng và BI = $\frac{4}{3}$BA nên $\overrightarrow{BI}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BA}$ hay $4\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}$. Do đó B sai.

Câu 22: Cho hình chữ nhật ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng.

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}$.                       

B. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.               

C. $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|$.                     

D. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có: AB // CD, AD // BC, AB = CD, AD = BC.

⇒ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\ne \overrightarrow{AD}$ và $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$.  Do đó A, C và D sai.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ABCD cũng là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Câu 23. Cho hình bình hành ABCD với điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{AB}$ thì

A. K là trung điểm của AC.                       

B. K là trung điểm của AD.

C. K là trung điểm của AB.                        

D. K là trung điểm của BD.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC. Khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{AB}$

$\iff \overrightarrow{KO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{KO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}$

$\iff 2\overrightarrow{KO}=\overrightarrow{AB}$

$\iff \overrightarrow{KO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Suy ra KO // AB và KO = $\frac{1}{2}$AB

Do đó K là điểm nằm trên đường thẳng song song với AB, đi qua O và bằng một nửa độ dài AB, hơn nữa phải cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ nên K là trung điểm của AD.

Câu 24. Cho tam giác đều ABC có AB = a, M là trung điểm của BC. Khi đó $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right|$ bằng

A. $\frac{a}{4}$. 

B. 2a.   

C. $\frac{a}{2}$.   

D. a.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC, có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MC}$ (quy tắc ba điểm)

⇒ $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{MC}\right|=MC=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}.$

Câu 25. Cho hình bình hành ABCD. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.                

B. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$.               

C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.               

D. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC và AD = CD, AD = BC nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Câu 26. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$;