Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // OQ.

(M ∈ OP), IN // OP (N ∈ OQ). Chứng minh rằng:

1) Tam giác IMN cân tại I.

2) OI là đường trung trực của MN.

Giá trị nghiệm nguyên của phương trình:

12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y).

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat B = 60^\circ \).

a) Tính số đo góc C.

b) Trên BC lấy E sao cho BE = BA, tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Chứng minh: DE = AD.

Cho định lí "Cho số tự nhiên n, nếu n⁵ chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5". Định lí này được viết dưới dạng P ⇒ Q.

Phát biểu định lí trên bằng các dùng thuật ngữ "điều kiện đủ".

Tìm GTLN của A², biết: \(A = \sqrt {x + 4} + \sqrt {4 - x} \).

Hình nào trong các hình sau không có trục đối xứng?

A. Hình tam giác đều;

B. Hình thoi;

C. Hình vuông;

D. Hình bình hành.

Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

F(x) = sin²⁰⁰⁷x + cos nx, với n ∈ ℤ:

A. Hàm số chẵn;

B. Hàm số lẻ;

C. Không chẵn không lẻ;

D. Vừa chẵn vừa lẻ.

Với x ≠ −3, rút gọn phân thức \(\frac{{{x^3} - 27}}{{9 - 6x + {x^2}}}\) ta được:

A. \(\frac{{ - \left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{3 - x}}\);

B. \(\frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{3 - x}}\);

C. \(\frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{3 + x}}\);

D. \(\frac{{{x^2} + 3x}}{{3 - x}}\).

Tìm x, biết: x³ + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0.

Với x ≠ ± 3. Rút gọn biểu thức sau: \(A = \frac{5}{{x + 3}} + \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{3{x^2} - 2x - 9}}{{{x^2} - 9}}\).

Tìm x, biết: \[\frac{5}{{x - 3}} - \frac{4}{{x + 3}} = \frac{{20{x^2} - 5}}{{{x^2} - 9}}\].

Giải phương trình: sin²x – 5sinx.cosx + 6cos²x − 1 = 0.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, M là trung điểm của BC, có BH = 4 cm, CH = 9 cm. Tính diện tích tam giác AHM?

Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật. Chứng minh rằng: MA² + MC² = MB² + MD².

Cho a + b + c + d = 0. Với a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

 a³ + b³ + c³ + d³ = 3(b + c)(ad – bc).

Tìm x, biết: 8x³ – 12x² + 6x – 1 = 0.

Cho hàm số y = f(x) = 3x⁴ – 4x² + 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A. y = f(x) là hàm số chẵn;

B. y = f(x) là hàm số lẻ;

C. y = f(x) là hàm số không có tính chẵn lẻ;

D. y = f(x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ.

Cho hàm số y = x³ – 3mx² + 4m³ (m là tham số) có đồ thị C. Xác định m để C có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Tìm x, biết: cos²x – 3sinx.cosx – 2sin²x – 1 = 0.

Tính: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{64}}\).

Rút gọn biểu thức:

\(A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}\) (với x, y > 0, x ≠ y).

Năm nay Lan được 12 tuổi còn mẹ của Lan thì được 32 tuổi. Hỏi sau 8 năm nữa thì số tuổi của mẹ gấp mấy lần số tuổi của Lan?

Cho biểu thức \(A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\).

a) Rút gọn A.

b) Tính GTNN của A.

Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \). Chọn câu đúng:

A. a² = b² + c² – 3bc;

B. a² = b² + c² + bc;

C. a² = b² + c² + 3bc;

D. a² = b² + c² – bc.

Cho tứ giác ABCD có hai góc đối ở đỉnh B và D cùng bằng 90°. Gọi O là trung điểm của AC. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Giải phương trình tan3x = tanx.

Tìm x, biết: \(\sqrt 3 \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin 2x\).

Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0;

b) 2(x + 3) – x² – 3x = 0;

Chứng minh:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

Mẹ có một số kẹo. Nếu mẹ chia số kẹo thành 6 phần bằng nhau thì dư 3 cái.

a) Hỏi với số kẹo đó, mẹ có thể chia thành 3 phần bằng nhau hay không? Vì sao?

b) Với số kẹo đó, mẹ có thể chia thành 2 phần bằng nhau không? Vì sao?

Cô giáo cho một số kẹo. Nếu cô chia số kẹo đó thành 12 phần như nhau thì dư 6 chiếc. Hỏi cô có thể chia đều số kẹo thành 4 phần mà không còn dư hay không?

Cho hai điểm B; C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = {\overrightarrow {CM} ^2}\) là:

A. Đường tròn đường kính BC;

B. Đường tròn (B; BC);

C. Đường tròn (C: BC);

D. Một đường tròn khác.

Cho trước hai điểm phân biệt A, B. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:

\(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right|\).

Phân tích đa thức thành nhân tử: 12x² + 5x – 12y² + 12y – 10xy – 3

Liệt kê tất cả các ước của các số sau: 530; 240; 438.

Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁴ + x² + 1.

Thực hiện phép chia:

a) (x⁴ + 6x² + 8) : (x² + 2);

b) (3x³ – 2x² + 3x – 2) : (x² + 2).

Ước của 240 là:

A. 18;

B. 16;

C. 20;

D. 22.

A. \(\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)\);

B. \(\left( {5; + \infty } \right)\);

C. \(\left[ {3; + \infty } \right)\);

D. \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\).